● 摘要
1986年,C. J. Mulvey在研究非交换的C -代数的谱时首先引入了Quantale的概念.从此,Quantale理论受到了数学家和逻辑学家的关注,1992年C. J. Mulvey和J. W. Pelletier在Quantale和C -代数理论的基础上提出了对合Quantale的概念,1993年S. Abramsky和S. Vickers提出了Quantale模的概念等等.Quantale自身具有丰富的序结构、代数结构和拓扑结构,与此相关的结构也有非常丰富的内容.本文研究了Quanale相关结构的性质,对Girard Quantale范畴的极限和逆极限作了较为细致而深入地研究.主要内容如下:
第一章 预备知识.本章给出了本文将要用到的Quantale理论、范畴理论的基本概念和结论.
第二章 Quantale相关结构的性质.本章首先研究了在幂等Quantale的条件下,代数Quantale与空间式Quantale的关系,得到了Quantale及其子Quantale是空间式的充分条件,并给出了子Quantale、商Quantale的若干例子.接着对Quantale矩阵进行了研究,讨论了幂等右侧Quantale上的幂零矩阵的若干性质,给出了幂等右侧Quantale上的矩阵为幂零矩阵的充要条件,得到了幂零矩阵的幂零指数的刻画定理.最后给出了Quantale模的余核映射的定义,得到了其与子Quantale模的对应关系;同时给出了Quantale上对偶双重模的定义,并研究了它的性质.
第三章 对合Quantale及其范畴中的定向极限.本章首先引入了关系对合Quantale的定义,得到了对合Quantale的表示定理,其次在范畴意义下,讨论了对合Quantale范畴与其满子范畴等价.最后,给出了对合Quantale范畴中定向极限的结构.
第四章 Girard Quantale范畴.本章研究了Girard Quantale范畴中的始对象、终对象等特殊对象,证明了此范畴不是点化范畴.给出了Girard Quantale范畴等化子的结构,证明了Girard Quantale范畴有乘积,并构造出了此范畴中的极限结构.最后给出了Girard Quantale范畴中逆系统的定义,得到了逆系统的逆极限结构.
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