● 摘要
算子理论是泛函分析的重要分支.算子方程是算子论中的一个热点问题.
关于算子方程的正算子解的研究产生于20世纪九十年代,
并在控制论,动态规划和统计学等方面都有广泛的应用,因此近年来得到很大的发展,关于算子方程
的论文也层出不穷,使得算子方程成为一个非常活跃的领域.
本文在无限维Hilbert空间上研究了三种形式的算子方程$X+A^*X^{-2}A=Q$,
$X+A^*X^{-t}A=Q$ ($01)$
的正算子解的特征, 并给出了这三种形式的算子方程的正算子解的刻画.
算子的Drazin逆问题从上世纪末一直受到国内外许多学者的关注.本文
在无限维Hilbert空间上研究了Drazin可逆算子的扰动问题,给出了扰动后算子的Drazin逆及其扰动界的刻画.
本文分为三章,主要内容如下:
第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号,
定义和后面要用到的一些基本定理等. 在介绍了一些符号之后,引入了算子的数值域,谱,数值域半径以及谱半径的定义,又给出了一些特殊算子如正规算子,自伴算子,正算子,算子的 Drazin 逆,Drazin 可逆算子的指标等定义,而后我们给出了正算子的一些基本特性以及本文将用到的一些熟知的定理,如谱分解定理,
谱映射定理,值域包含定理等.
第二章在无限维Hilbert空间上研究算子方程$X+A^*X^{-2}A=Q$,
$X+A^*X^{-t}A=Q$ ($01)$的正算子解的相关问题.首先研究了算子方程$X+A^*X^{-2}A=Q$的正算子解的
特征,给出了该方程有正算子解的一些必要条件和充要条件以及该方程有正算子解时正算子解的范围,并从范数,谱半径,数值域半径等不同的角度给出了方程有正算子解$X$时,算子$A$, $X$, $Q$之间的关系.其次我们讨论了非线性算子方程$X+A^*X^{-t}A=Q$ ($01$)正算子解存在的条件,并且得出下面的结论:方程有一个范数为1的正算子解的充分必要条件是A不是下有界的.而且还研究了当$Ain {cal B(H)}$ 是正规算子,
$t=2^{m}$(m为正整数)时方程$X-A^* X^{-t}A=I $ ($t>1$)有
正算子解的条件,并且利用迭代的方法得到其正算子解.
第三章我们在无限维Hilbert空间上研究了 Drazin 可逆算子扰动后的 Drazin 可逆性问题.给出了扰动算子的 Drazin 逆的刻画及其扰动界.证明了Drazin 可逆算子在满足一定条件的算子的扰动下仍然是Drazin 可逆的,并给出了扰动后算子的Drazin 逆的刻画,将Y. M. Wei等人的结论加以推广.