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华东师范大学 2003年数学分析试题及解答

一、（30分）简答题（只需写出正确答案）：

sin 2(1−x ) 1=( ⑴ lim x →1(x −1) 2(x +3) 3

⑵y =arccos(12' (); 则y =221+x 2(1+x ) 2+x

2⑶ln xdx =(x (lnx −2ln x +2) +C )

⑷ z =y sin(), 则dz =(z x dx +z y dy )

⑸D ={(x , y ) |x +y ≤1},则

22∫2x x y 22x e ∫∫D 2+y 2dxdy =(π(e −1)) ⑹ L ={(x , y ) |x +y =1},取顺时针方向，则xdy −ydx =(−2π) . L

二、（20分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）；

⑴若lim x n =0, 则lim n =0。 n →∞n →∞

错；例如lim 11=0，但lim =1 。 n →∞n →∞n n

⑵若f (x ) 在(0, +∞) 上可导，且f ' (x ) 有界，则f (x ) 在(0, +∞) 上一致连续.

f (x ) ' ≤K , x ∈(0, +∞), 则∀ε>0, ∃δ=

对设εK >0, ∀x ' , x " ∈(0, +∞) 并且x ' −x " <δ

, f (x ' ) −f (x " ) =f ' (ξ) ⋅x ' −x " ≤K •

x εK =ε

⑶若f (x ) 在[a , b ]上可积，F (x ) =∫f (t ) dt 在x

a 0∈(a , b ) 可导，则F ' (x 0) =f (x 0) 。

错；例如f (x ) ={0, 0

x

上可积，并且F (x ) =−1∫f (t ) dt ≡0, , x ∈[−1, 1]⇒F ' (x ) ≡0,

但是F ' (0) ≠f (0) =1.

⑷若∑(a

n =1∞2n −1+a 2n ) 收敛，且lim a n =0则∑a n 收敛。 n →∞n =1∞