● 摘要
微分方程解的性质包括解的稳定性, 振动性和周期性等.这些性质揭示了动力系统的长期行为, 因而在生态学 ,药学和经济学等众多领域有着广泛的应用,自从用微分方程来描述生物学中众多生物规律和现象以来,一直吸引着许多专家和学者的注意力,并形成了很多具有很强实际背景的新课题.研究种群的共存性,稳定性和振动性等, 对于保持生态平衡, 保护生态环境甚至挽救濒临灭绝的珍稀生物等具有非常重要的实际意义.本文共分三个部分讨论了三类微分方程解的性质 问题.
应用种群动力学能描绘、预测以至调节和控制物种的发展过程与发展趋势,是人类合理开发资源、使用资源和 保护资源有效的理论依据之一.持久生存与全局渐近稳定性是种群动力学中的热门问题.在以往的文献中,一般地,利用比较原理得到了种群持久生存,构造$Liayunov$泛函可得到了正平衡态的全局渐近稳定性. 在第二章中研究了一类具有时滞的捕食与被捕食系统,分析了系统的正不变集,运用了特征值理论得到了边界平衡点性质,当时滞很小时,得到了系统在正平衡点局部渐近稳定的充分条件,以及当 au增加到 au_{0}时,系统在正平衡点附近产生Hopf分支的充分条件;利用局部渐近稳定性加吸引性得到了边界平衡点全局渐近稳定性的充分条件,且应用一致排斥定理得到了种群持久生存的条件.通过实例,借助于$Matlab$软件,验证了文中定理条件的正确性.
一般地, 对于一个抽象的泛函微分方程,只要系统满足一定的条件, 就可以得到其周期解的存在性.在第三章中,建立在系统周期解存在的基础上,利用线性化的方法,根据微分中值定理和常量变差公式,得到了一类非线性泛函微分系统周期解指数稳定的充分条件.以周期系数的Lotka-Volterra型n-种群竞争系统为例,给出了系统周期解指数稳定的充分条件.
在过去50年里, 常微分方程、泛函微分方程、 中立型微分方程、偏微分方程、及脉冲微分方程的振动性理论引起了许多学者的兴趣. 理论上而言,具有时滞的微分方程的振动性与相应的常微分方程的振动性有很大的差异,也就是说, 时滞可以影响微分方程的振动性. 在第四章中,
运用两种不同的$Riccati$变换,讨论了一类二阶非线性时滞微分方程的振动性,得到了该方程所有解振动的充分条件.