● 摘要
生物数学是结合生物学与数学的一门新兴的边缘学科, 它研究的内容主要包括数学生态学、生物统计、数量遗传和数理医药学四大分支. 数学生态学是其中发展比较迅速的一个分支, 它是通过建立各种生态模型，用数学方法定量地研究生态系统的变化过程, 其主要研究内容是种群生态学. 种群生态学是研究种群与环境以及种群之间相互作用关系的学科, 研究的重点是种群的空间分布和数量动态的规律. 人们对自然界中种群与环境以及种群之间的竞争、捕食、合作等关系建立了许多相应的数学模型, 并对模型进行理论研究, 其研究结果可用来描述、预测种群的发展过程, 并用以指导调控生物种群系统, 为保护自然生态环境以及促进人类社会经济与自然环境的协调发展提供科学依据.
在种群动力学的早期研究中, 多利用经典的常微分方程模型来刻画生物动力系统, 模型本身的状态由系统的参数和时间所确定. 然而, 自然界中并不存在任何独立生存的生物,任何生物都会受到各种瞬间作用的影响而使系统变量或增长规律发生突然改变. 这时单纯的常微分方程难以描述这一现象, 而脉冲微分方程能考虑到瞬时突变对状态的影响, 从而为这类问题提供了一个自然合理的描述. 脉冲微分方程的研究始于上世纪六十年代, 经过几十年的研究, 其基本理论及应用方面的研究都得到了很大发展.脉冲微分方程在研究种群动力系统、生物资源优化管理、害虫综合控制以及基因控制网络等领域都得到了广泛的应用.
本文主要运用脉冲微分方程以及种群动力学的基本理论研究几类具有脉冲控制的食饵-捕食者模型, 主要研究系统食饵灭绝周期解的全局渐近稳定性, 系统正周期解的存在性和全局渐近稳定性, 以及系统的持续生存性, 并且利用数值分析方法模拟了系统的动力学行为. 研究结果不仅从理论上丰富了脉冲微分方程理论,而且由于脉冲微分方程具有广泛的应用背景, 研究结果可用于解决一些实际问题, 具有实际应用价值.
本文的主要研究内容和成果包括下面几个方面:
(1) 研究了一类一般形式的周期脉冲Lotka-Volterra系统. 利用脉冲微分方程的比较定理、Floquet 理论及一些分析技巧, 获得了系统周期解的存在性及系统解的全局渐近性质. 将所得到的一般结果应用于一类食饵-捕食者系统, 获得了该系统正周期解存在唯一及全局吸引的条件, 并且还进一步研究了系统中种群灭绝的有关性质.
(2)研究了一类具有脉冲控制的周期系数的食饵-捕食者模型. 该模型描述了一类害虫控制系统的综合防治问题. 首先, 利用Floquet理论得到了系统害虫灭绝周期解全局渐近稳定的充分条件, 进一步利用不动点定理Lyapunov函数, 获得了系统存在正周期解和正周期解全局渐近稳定的条件, 并且用数值模拟方法验证了所得到的理论结果.
(3)研究了一类一个周期内有两次脉冲控制的食饵-捕食者模型的持续生存性. 该模型描述了害虫与其天敌的捕食关系, 为了控制害虫数量的增长, 一个周期内在不同的时刻分别喷洒杀虫剂和投放天敌. 首先, 利用Floquet理论和脉冲微分方程的比较定理获得了害虫灭绝周期解全局渐近稳定的条件, 进一步利用脉冲微分方程的比较定理及一些分析技巧研究获知当害虫灭绝周期解的条件不成立时该系统是持续生存的.
由于自然界中的很多运动过程呈现出周期变化的情形, 因此本文主要研究周期情形下的具有脉冲控制的种群系统模型, 周期系数情况下脉冲控制问题的研究比常系数情形更具实际意义, 研究过程自然也更加困难和复杂, 其研究结果能更好地应用于实际. 本文所获得的关于一般Lotka-Volterra 系统周期解的存在性和系统解的全局渐近性质等结论, 对于脉冲微分方程的发展有一定的理论意义. 对于几类食饵-捕食者模型研究所获得的食饵灭绝周期解的存在性和稳定性、系统正周期解的存在性以及系统的持续生存性质等结论, 对于实际生产具有一定的指导意义.
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