2017年华北电力大学(北京)数理系893量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、填空题
1． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.
；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.
2． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】
3． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。
【答案】波粒二象性
4． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。
【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子
5． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】
6． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
中运动，其状态波函数
则的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
的跃变条件为_____。
二、简答题
7． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时
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问是否
间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
8． —个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
9． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
10．写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
11．描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
12．厄米算符的本征值与本征矢
分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
13．什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
14．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
三、证明题
15．粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
，（常数）
同理，可得
因此：
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试证明的不确定关系
：
所以有：
16．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
四、计算题
17．设有三个
自旋算符
组成的系统，其哈密顿量为
试
（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；
（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数【答案】哈密顿量为
其中
能量与无关，可由
时，能量为
时，能量为
时，能量为
当
故系统的力学量完全集为完全确定
. .
可取值个数确定，则
完全确定时，能级简并度将仅由
可取值的个数为2, 故简并度为
2.
可取值个数为2，故简并度为
2. 可取值个数为4，故简并度为4.
18．粒子在二维无限深势阱中运动
，（1）写出本征能量和本征波函数； （2）若粒子受到微扰
的作用，求基态和第一激发态能级的一级修正。
【答案】 （1）根据题意，易写出粒子在二维无限深势阱中本征能量和波函数。
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