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南京航空航天大学 

2014年硕士研究生入学考试初试试题

科目代码: 科目名称: 601 数学分析 A 卷 分 满分: 150 1. （12分）求极限:

e x sin x −x (1+x ) (1) lim ; 3x →0x

a a ⎞⎛n 2⎜arctan −arctan ⎟，其中a ≠0为常数。 (2) 求极限lim n →∞n n 1+⎝⎠

πq ⎧ a rctan , x =, p ∈N , q ∈Z , ( p , q ) =1 , ⎪p p 2. （13分）讨论函数 f (x ) =⎨ 的连续性.

⎪ 0 , x 为无理数 . ⎩

y y x

3. （12分）设0y 。 x x

f ′(x ) =0. 证明 4. （13分）设函数f (x ) 在区间( a , +∞ ) 内可微 , 并且x lim →+∞

x →+∞lim f (x ) =0. x

5. （12分）求不定积分 ∫dx cos x

6. （13分）设函数f (x ) 定义在区间( a , +∞ ) 上 ,并且f (x ) ≥0. b >a 是常数.

(1) 举例说明: 广义积分∫f (x ) dx 收敛,但∫f 2(x ) dx 不收敛; a a b b

∫+∞

a f 2(x ) dx 收敛,但∫

b 2

a +∞ a f (x ) dx 不收敛. b a (2)证明: 如果∫f (x ) dx 收敛,则∫f (x ) dx 收敛.

(3)假设f (x ) 在区间( a , +∞ ) 上有界, 且积分∫

积分∫+∞

a +∞ a f (x ) dx 收敛,证明: 对任意常数p >1, f p (x ) dx 收敛.

∞x ∈(−∞, +∞) 的一致收敛性。 7. （12分）判断函数项级数n =科目代码：601科目名称：数学分析 第1页 共2页