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一、简答题

1． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

2． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。

3． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为

为实函数，但

可以为复函数。

的物理含义是什

二、综合分析题

4． 设为基态试探波函数，示偏离【答案】

的程度。令

为H 的归一化本征函数，令

为真正的基态波函数，二者都是归一化的，

令

表示H 的归一化本征函数，试证明,

则:

而

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表

5． 在t=0时，自由粒子波函数为

（1）给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅。 （2）求出几率最大的动量值。 （3）求出发现粒子在（4）

区间中的几率。

（积分形式即可）。

【答案】（1）利用傅里叶变换，可得粒子在动量空间的波函数为：

该态中粒子动量可能测得值为（2）动量几率最大时，有：

因此有：

可得：（3）因为

所以发现粒子在

区间中的几率为：

相应的几率振幅为

（4）

6． 若粒子所处的定态波函数（1）粒子的分量坐标出现在（2）粒子的动量分量

出现在

（3）粒子的z 分量坐标出现在

为已知，试写出下列几率计算公式： 范围内的几率。 范围内的几率。 范围内，同时动量分量

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出现在范围内的几率。

【答案】（1）（2）（3）

7． 在势阱

中运动的粒子，处于第激发态，试求：

（1）距势阱内左壁宽度处的几率密度。

（2）在该处，量子数n 取何值时几率密度最大，最大值为多少。 【答案】在

区域，定态薛定谔方程为：

在

区域

的解为：

所以

处

几率密度数为（处在第《激发态）：

（1）所以，距势阱内左壁

宽度处即

处的几率密度为：

令而

结合以上两个条件

8． 一质量为的粒子在一维势箱

中运动，其量子态为

即取

时几率密度最大，

最大值为

方程①满足边界条件

（1）该量子态是否为能量算符的本征态？

（2）对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ （3）处于该量子态粒子能量的平均值为多少？

【答案】（1）在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为：

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