题目：空间自仿测度下无限正交指数系存在的条件及谱性质的分析

自仿测度$mu_{M,D}$的谱与非谱问题是自仿测度谱理论研究的主要内容之一, 而
$mu_{M,D}-$正交指数系的有限性或无限性问题在研究自仿测度是否为谱测度中起着重要的作用. 因此, 本文
主要针对空间自仿测度下无限正交指数函数系存在的条件及谱性质进行分析, 得到如下研究结果:

第一部分, 通过利用函数$m_{D}(x)$零点集$Z(m_{D})$中的非零中间点(即坐标为$0$或\$1/2$的点)的性质,
得到空间自仿测度下无限$mu_{M,D}-$正交指数函数系存在的许多条件, 为进一步研究空间自仿测度$mu_{M,D}$的谱性质奠定基础.
同时, 给出这些结论的一些应用.

第二部分, 主要对三维空间$mathbb{R}^{3}$中当$M=1/2[p_{1}+p_{2},; p_{1}-p_{3},; p_{2}-p_{3};;;
p_{1}-p_{2},; p_{1}+p_{3},; -p_{2}+p_{3};;;-p_{1}+p_{2},; -p_{1}+p_{3},; p_{2}+p_{3}], D={0, e_{1}, e_{2},
e_{3}}$时, 其中$p_{j}in mathbb{Z}setminus {0, pm 1}(j=1,2,3), e_{1}, e_{2}, e_{3}$是$mathbb{R}^{3}$中
的单位向量, 自仿测度$mu_{M,D}$的谱性质进行分析, 得到的结果是
(1)当$p_{j}in 2mathbb{Z}setminus {0, 2}(j=1,2,3)$或$p_{1}=p_{2}=p_{3}=2$时, $mu_{M,D}$是谱测度; (2)当
$p_{1}, p_{2}, p_{3}$这三个数中至少有一个数是偶数时, 空间$L^{2}(mu_{M,D})$中存在无限正交系$E(Lambda)$且
$Lambda subseteq mathbb{Z}^{3}$; (3)当$p_{j}in 2mathbb{Z}+1setminus {pm 1}(j=1,2,3)$时, $mu_{M,D}$不是谱测度,
且空间$L^{2}(mu_{M,D})$中正交指数函数系至多包含$``4"$个元素, 且数字$``4"$是最好的.