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一、计算题

1． 设

试求

和

分别来自总体的最大似然估计.

和

的两个独立样本.

【答案】合样本的似然函数为

对数似然函数为

将对数似然函数对

分别求导并令其为0, 得

由此得到

的最大似然估计为

2． 设总体X 的概率密度函数为

其中（1）

（2）

为未知参数, 的矩估计量； 的最大似然估计量.

,

的样本值, 则似然函数为

,

为取自总体X 的容量为咒的简单随机样本. 试求:

【答案】 （1）总体X 的数学期望为设

为样本均值, 令

可解得未知参数0的矩估计量为（2）设

是相应于

当时,

且

令, 解得的最大似然估计值为

从而得到0的最大似然估计量为

3． 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.

（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？

【答案】我们先对问题作一简单分析:若该人有预测能力，则他预测正确的概率应该大于1/2, 若他没有预测的能力，则他胡乱猜测也有数，则

，要检验的一对假设为

若拒绝原假设，则可相信该人有预报能力，否则不能相信他有预报能力，由于检验拒绝域形如

，故检验的p 值为

对此p 值作一些讨论:

（1）由于检验的p 值大于显著性水平犯第二类错误的概率如

，则

类似可算得

可见随着的増加，犯第二类错误的概率在变小. （2）我们知道，当譬如，若取

时应拒绝原假设，因此，当

时拒绝原假设，

，因为

，则拒绝原假设，可相信他有这种能力.

.

，故应不拒绝原假设， ，对具体可算出

的值，

不能相信他具有预报未来股市的涨跌的能力，在不拒绝原假设时可能犯第二类错误，

猜对的可能，现以X 表示他预测10次预测正确的次

4． 从1, 2, 3, 4, 5五个数中任取三个，按大小排列记为

（1）X 的分布函数； （2）

.

，令，试求:

【答案】（1）因为X 的分布列为•，所以X 的分布函数为

（2）

.

5． 有七种人造纤维，每种抽4根测其强度，得每种纤维的平均强度及标准差如下:

表

假定各种纤维的强度服从等方差的正态分布. （1）试问七种纤维强度间有无显著差异各种纤维的强度间有显著差异，请进一步在

；

下进行多重比较，并指出哪种纤维的平均强度

（2）若各种纤维的强度间无显著差异，则给出平均强度的置信水平为0.95的置信区间；若最大，同时给出该种纤维平均强度的置信水平为0.95的置信区间.

【答案】 （1）这是一个方差分析的问题. 由已给条件可算得

所以

而

因而

从而检验统计量

检验的P 值为

这说明因子是不显著的，故认为七种纤维强度间无显著差异.

（2）由于方差分析的结论是不显著的，故应将所有的数据看成来自同一个总体，从而将所有数据合并进行分析. 而（1）中的总平方和就是这里的误差偏差平方和，因为

所以误差方差的无偏估计为

即

另外，平均强度的估计为

若取，则