题目：非线性偏微分方程精确解的求解研究

20世纪70年代以后，鉴于非线性偏微分方程可以更加真实准确的描述客观世
界中的广泛现象，所以研究非线性偏微分方程逐渐成为热点。在人们不断探索和
解决各种复杂的非线性问题的过程中，对自然和社会的认识也越来越深刻。发展
至今，对于非线性偏微分方程的探索，已经建立起较为完善的理论体系。
在非线性偏微分方程的研究领域中，精确解的构造是其中一个重要的分支。
近几十年以来，精确解的发展不断有新的突破，科学家们提出了不少行之有效的
方法来构造方程的精确解。特别值得一提的是，我国科学家在这方面取得了杰出
的成就，处于世界领先地位，如王明亮教授创立的齐次平衡法，此方法可以作为
很多其他方法的基础；楼森岳教授创立的多线性分离变量法；范恩贵教授提出的
扩展tanh法；刘适式教授创立的Jacobi椭圆函数展开法以及本文将介绍的双函数法
和G′=G展开法等等。这些开创性工作大大丰富了非线性偏微分方程精确解的求解
方法，而且这些方法能够适用于一大类非线性方程的求解问题，具有很高的学术
价值。
符号计算系统在求解非线性偏微分方程的精确解中扮演着至关重要的角色。
本文将结合符号计算软件Maple，构造偏微分方程的若干精确解，并画出其3D图
像，以便易于我们对解的形状、性质、意义加以分析。
本文主要的研究包含以下几个方面：
第一章引出文章主要研究对象的背景及意义。
第二章首先概述了孤立子的产生及其激发，说明了孤子对非线性偏微分方程
体系的影响。其次介绍了非线性偏微分方程的最新几种构造精确解的方法，最后
对非线性偏微分方程的广义条件对称以及守恒律进行阐述。
第三章介绍了双函数法的基本思想，并给出其具体求解步骤，然后运用此方
法得到了高阶偏微分方程Kawahara新的行波解，丰富了非线性偏微分方程的精确
解，且给出的每一个解都已用Maple验证其正确性，并画出每个解的3D图。
第四章首次结合Riemann-Liouville分数阶导数和G′=G展开法求出高阶分数
阶Kawahara方程新的精确解，并分析这些解的意义，最后对G′=G展开法及其他方
法进行比较得出它们各自的优缺点。
第五章总结全文并对非线性偏微分方程的研究进行展望。