题目：不变子空间和改进的双曲正切方法及其在微分方程中的应用研究

        非线性是自然界的普遍特性,是所有自然科学和社会科学的分支，并造成了世界的无限多样性、突变性、演化性等。可见研究非线性问题的重要性。于是，人们借助非线性问题的数学模型 — 非线性方程来对其进行研究。通常若某个非线性方程含时间项则人们会称其为非线性演化方程或非线性发展方程。        为了对非线性现象进行更深入的探索，我们就需要从这些非线性方程的精确解入手，而此时关于它们的求解方法和技巧就显得格外重要。本文首先将介绍几种常用的方法：反散射变换方法（IST）、Hirota双线性方法、Backlund变换方法、齐次平衡方法及双曲正切函数法。并在Malfliet 等人工作的基础上，给出求解非线性演化方程的改进的双曲正切方法。并通过求解经典的KP 方程及KdV方程，给出它们的更复杂的新精确解。本文还将介绍由Sturm和Liouville 在变量分离原理的基础上提出的广义变量分离方法 — 不变子空间方法。并给出求解一般简单非线性演化方程和KdV-类型方程组来验证此方法的有效性。        很长一段时间以来，符号计算系统在求解非线性偏微分方程精确解的过程中扮演着非常重要的角色。而本文将结合符号计算软件Maple来使我们的求解过程更简便。并且利用Maple 强大的2D 和3D 绘图功能，给出每个解对应的二维或三维图示，从而使我们得到的解更加生动，更易于我们对解的意义、性质等的研究。        本文将从以下几个方面展开研究：        第一章引出本文研究的可行性以及必要性。        第二章首先阐述计算机代数系统，说明对一些复杂的求解我们完全可以通过各种数学软件（如Maple）轻松对待。其次通过介绍几种求解非线性偏微分方程的经典方法，让我们了解各种方法的基本思想和原理以及它们之间的关系。再次给出孤立波理论，了解到孤波解的性质、形状及意义。最后讲述了几种不同意义上的可积，并说明了可积性与非线性微分方程解的存在性的联系。        第三章提出改进的双曲正切法的基本思想及原理，并给出了具体的求解步骤。最后给出例子KP 方程和KdV方程的求解，运用此方法分别首次得出了它们的更复杂的新精确解。运用Maple，给出每个解对应的二维和三维图，验证得到的每个解都是有意义的。        第四章介绍了不变子空间方法原理及求解步骤。并通过两个例子研究此方法的有效性。运用Maple，给出每个解对应的二维和三维图，验证得到的每个解的正确性。        第五章总结全文并对求解非线性演化方程的研究进行展望。