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一、计算题

1． 两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.

【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为

（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为

对应能量为

.

（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是

对应能量为

.

（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的. 自旋已知

对应的本征函数有4个：

是交换反对称的，要配对称的空间波函数；

是交换对称的，要配反对称

对应能量为

.

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的空间波函数. 所以体系能量最低的态对应的波函数是

2． 简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为

即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

3． 若两个中子的相互作用哈密顿为是什么。（设没有外场）

【答案】解法一：

设总自旋

则:

其中g 为作用常数，和

分别为两个中子的自

旋算符， 求分的本征值和本征函数。如果同时计入中子的空间波函数，则两中子体系的总波函数

而两中子的自旋波函数只有四种情况（即有4个本特征态）。 自选交换对称波函数：

自旋交换反对称波函数：

显然

与

对易，二者有共同的本征态：

即的本征值为

的对应波函数为

即的本征值为解法二：选择的本征态为对应特征值因为

时对应的函数为

表象（因为

（对应特征值的本征态，

），对应本征值

相互对易）。

（对应本征值本征态为

）。

对易，所以两中子的体系的波函数可以由

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的本征态的乘积构成如下四种情

况（结合全同粒子满足的波函数的对称性要求）：

自旋交换对称态：

自旋交换反对称态：又因为：

把以上格式代入分别作用到j

和. 上可得：

同理可得：即的本征值为

对应的本征函数分别为

在没有外场情况下，中子的空间波函数的动量本征态函数。设两中子处

在

和

态上，则空间对称波函数为：

反对称波函数为：

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