2018年河南工业大学理学院626量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 对于自旋的体系，求量
得
的概率和
的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测
的平均值。
设本征态
本征值为则：
【答案】
将代回原方程：
即：
所以，因此有：
同理可得：
的本征态
所以在
态中测量
的几率为：
2． 证明
式中A 为归一化常数
，
是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.
【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为
本题中波函数
所以
是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为
3． 己知氢原子的径向波函数（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数（3）对于本征态【答案】⑴（2） 所以
|
（3）对于本征态量的z 分量：
4． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成
所需的最短时间
任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是
其中a 为波尔半径. 求氢原子的归一化本征函数
其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？
本征函数可以表示为
其对应的能量为：
角动量：角动
即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.
（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.
【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：
由得，
在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为
（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设
时刻粒子的波函数是
处于第一激发态的几率
即
可得
所以当n=l时有最小时间，即
5． 已知（1）利用（2）求
在
的本征态
在
是泡利矩阵，表象中的表达式，求
在
可由
的本征态经绕x 轴转动
解得
表象中的本征态矢
试由此
角的坐标变换而得，即
表象的表达式，并与（1）所得结果比较。
【答案】（1）易知：
设
本征矢
则
即
（2）由题意可得：
同理，可得：