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一、计算题

1． 设有三个

自旋算符

组成的系统，其哈密顿量为

试

（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；

（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数【答案】哈密顿量为

其中

能量与无关，可由

时，能量为

时，能量为

时，能量为

当

故系统的力学量完全集为完全确定

. .

可取值个数确定，则

完全确定时，能级简并度将仅由

可取值的个数为2, 故简并度为

2.

可取值个数为2，故简并度为

2. 可取值个数为4，故简并度为4.

2． 质量为m 的粒子处于角频率为的一维谐振子势中.

（a ）写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（可不归一化）. （b ）写出在动量表象中的哈密顿算符.

（c ）证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为

.

【答案】（a ）在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为

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本征值和波函数

（b ）在动量表象中坐标算符可表示为

则哈密顿算符为

则一维谐振子的势能为

（c ）在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为

3． 设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.

【答案】氢原子的定态能量为由氢原子所处的态函数

所以氢原子能量的取值为角动量平方的取值为角动量z 分量的取值为：

几率1/4，

几率3/4，

其平均值

4． 粒子在势场作【

答

案

】

利

用

波

函

数

的

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几率为1，能量的平均值为

几率为1，其平均值为

中运动，其中

试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

归

一

化

公

式

由重新代入

得：

表达式，得：

故基态能量的上限为：

5． 设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态

电子跃迁到激发态的概率.

（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由

.

【答案】（1）根据跃迁几率公式

其中

可知，必须先求得

根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则记由初态

到末态

终态量子数必须是

的跃迁矩阵元为

其中 T 为常数。

已知，a 基态其中为玻耳半径.

将

代入跃迁几率公式

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