2017年解放军信息工程大学080300光学工程量子力学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设
为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】（1）由题意可得：为：
（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：
故：
已知在本征态表象下因此有：
（3）在
下的平均值为：
2．
若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量
【答案】因为
所以
和
和]
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且有试用Schmidt 方法构成正
设由
贝IJ :
得：
同理，设由
则：
因此：
代入上式，得：
故：
3． 在
表象中，
求自旋算符在
表象中的矩阵表示为：
方向投影算符
的本征值和相应的本征态。
【答案】在
则的本征方程为：
a 、b 不全为零的条件是久期方程：
解得：故
的本征值为：时的本征函数为：
时的本征函数为：
4． 自旋为时，粒子处于（2）求出t ＞0时
固有磁矩为
的状态。
的可测值及相应的取值几率。
（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场
中，设t=0
将本征值代入①式，可得：
（1）求出t ＞0时的波函数； 【答案】（1）体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为：
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在t= 0时，粒子处于为了求出
的状态，即
在泡利表象中的具体形式，需要求解满足的本征方程：
解得:于是，有：
由于，哈密顿算符不显含时间，故/>0时刻的波函数为：
（2）因为
所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计
算t=0时的取值几率就知道了t ＞0时的取值几率。 由于
的取值几率为：
因此有：
5． 设已知在，值为
的共同表象中，算符
的矩阵分别为
试在取
故有：
的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.
设
的本征态矢为
则由
【答案】可能取得的值有可以解得同理由
为
6． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若
可以解得
概率为
时态矢为
概率为
与时间无关.
态矢
平均值为
是薛定谔方程的两个解，证明
（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式.
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