● 摘要
摘要本论文主要研究一类半线性奇异椭圆方程，用变分法和一些分析技巧得到了其解的存在性和多重性。 首先，研究了具有Dirichlet 边界条件的椭圆问题。这一类问题带有Hardy 项和临界Sobolev-Hardy 指数。对其所对应的能量泛函的(PS) 序列进行了仔细的讨论, 给出了局部紧性结果, 进而利用这一结果和山路引理证明了该方程解的存在性. 其中, 我们重点研究了边界奇异的情形。在这种情况下, 为了得到山路解的存在性,要考虑边界在原点处的曲率性质. 并且要对Sobolev-Hardy 临界时最佳嵌入常数的达到函数做一些新的估计. 另外, 利用喷泉定理和对偶喷泉定理, 在一定条件下给出了方程无穷多解的存在性结果.其次，本文研究了具有Neumann 边界条件的奇异椭圆方程。 我们首先对Sobolev-Hardy 临界时最佳嵌入常数的达到函数给出了一些新的估计, 不同于Dirichlet 边界问题或0在内部的情况, 当0在边界时, 这些估计要困难的多. 然后, 利用Ekeland 变分原理和山路引理证明了该问题正解的存在性和多重性.