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一、填空题

1． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.

【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本征值

【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实. 2 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】

写出粒子在球壳

中被测到的几率_____。

3． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】

4．

当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.

【答案】测量的干扰

【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.

5． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象

；

6． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

二、选择题

7． 一维自由电子被限制在x 和

处两个不可穿透壁之间

，

埃，如果

是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

由题意，基态能量为

8． —维问题中的哈密顿量为

【答案】C

9． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】

10．如果算符表示力学量应的_____。

【答案】确定值；本征值

11．假定角动量平方算符的选择为（ ）

【答案】C

12．对力学量进行测量. 要能得到确定结果的条件是（ ） A. 体系可以处于任一态

则可知，

较高级能量与基态能量比值为

则第一激发态能量为

哈密顿与坐标的对易式（ ）。

为归一化波函数

的可能值为_____

那么当体系处于

的平均值为_____。

为归一化的球谐函数，则

的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相

的本征值分别为和如果则可能是本征值

B. 体系必须处于宏观态 C. 力学量必须是守恒量 D. 体系必须处于的本征态 【答案】D

【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.

三、计算题

13．中子的自旋也为

磁矩为

若中子处于沿y 方向的均匀磁场中，求自旋波函数。

）

【答案】体系的哈米顿基为：

不妨取

在

表象中，

设自旋波函数为

则能量本征方程为：

久期方程为：由此可得：（1）当自旋波函数为：

时，由

并结合归一化条件

可得

（2）同理，当

时，可得自旋波函数为：

14．设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

也属于正幂次级数，故有定态方程

式中：

则I 式可以化为：

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而