2018年对外经济贸易大学统计学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
得
故
知
故
【答案】
由题意知
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
，由于
所以
为矩阵对应特征值
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的特征向量；
所以
为矩阵对应特征值
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
3． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
所以
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
4． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
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其中t 为任意常数.
其中E 是n 阶单位矩阵.
矩阵
逆
且A 可对角化，
求行列式
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（Ⅲ）设
则由
知
即
或1.
又存在可逆矩阵p ,
使或1.
二、计算题
5． 设n 阶矩阵A ，B 满足
【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值，
有公共的特征向量. 则A 不可逆，0
是A 的特征值
；
同理，
0也是B 的特征值，于是
A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.
6． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.
【答案】若x 满足Bx=0
, 则ABx=0, 即Cx=0.
若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0. 综上即知方程Bx=0与Cx=0同解. 7． 设
问k 为何值，可使（1）R （A
）=1; （2）R （A ）=2;
（3）R （A ）=3.
因
于是R （A ）=2;
【答案】方法一：因A 为3阶方阵，故所以当当k=-2时，
时，R （A ）=3.
又A 的左上角二阶子式不为零，故
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