● 摘要
非线性互补问题$(NCP)$与二阶锥规划$(SOCP)$问题是两类重要的优化问题.它们广泛出现于科学与工程技术领域,因此研究它们的求解方法具有一定的理论价值与现实意义.
互补问题与非线性规划、极大极小、对策论、不动点理论、变分不等式等数学分支紧密联系,并广泛应用于力学、经济、交通等领域,因此受到广泛关注,并在其理论与算法方面取得了丰硕成果.其中,通过构造光滑函数,用光滑牛顿法求解$NCP$是近年来的研究热点之一.本文第二章考虑了一类$P_0-mbox{映射}NCP(F)$.首先,引入一个新的光滑函数,将$NCP(F)$等价转化为一个光滑方程组,并建立了求解它的光滑牛顿法.其次,证明了由该算法产生的无穷序列的任一聚点均为原问题的解,并且当$NCP(F)$的解集非空有界时,迭代序列有界.然后,当$NCP(F)$有一个局部惟一解且满足一个非奇异条件时,证明了该算法具有局部超线性收敛性和二次收敛性.最后,用五个例子的数值实验说明了该算法可行且有效.与已有方法相比,本文提出的方法不需要假设搜索方向有界,不需要严格互补条件,而且通过特殊的设计牛顿方程及线性搜索步,可以控制光滑参数以合适的速度收敛.
$SOCP$问题是一类重要的凸优化问题.它不但广泛应用于工程技术领域,而且许多其它的优化问题可以转化为它,因此其求解方法一直是人们关注的焦点问题.目前,有许多方法可以求解$SOCP$问题,但它们基本上属于传统的迭代法.由于计算时间依赖问题的规模、结构以及所采用的算法, 因而很难满足实时性要求. 与传统数值方法相比,由于内在的并行分布处理信息的特点及电路实现的潜能,神经网络具有许多计算上的优势和实时性的应用.自提出Hopfield神经网络,并将其成功应用于优化问题后,用神经网络求解优化问题得到了相当深入的研究,并取得了许多重要的成果.本文第三章考虑了一类$SOCP$问题.利用两个光滑函数分别将二阶锥约束转化为光滑的凸约束,从而将$SOCP$问题近似转化为两类凸优化问题,并根据射影理论建立了求解它们的两个新神经网络.然后运用Lyapunov稳定性理论和LaSalle不变原理证明了提出的神经网络在适当的条件下是Lyapunov稳定的,且能以任意精度收敛到原问题的解. 最后数值实验表明这些网络不仅可行,而且有效.