● 摘要
在有限维李代数理论中，单（或半单）李代数，可解李代数和幂零李代数一直是关注的中心。而且单（或半单）李代数是其中了解最透彻的。无限维李代数是李代数理论的一个内容非常丰富的分支，也是一个重要的分支。无限维李代数的研究，虽然也有不少丰富的成果，并且它在其它自然学科上的广泛应用，也使世人看到了它发展的前景。但是无限维情况的难以理解性和抽象性使得实际的发展情况并不是那么顺利的。一般的无限维李代数并没有形成象有限维李代数那样完整的结构理论。这里我们将考虑一些简单无限维李代数的结构（主要包括根基）问题。若是能处理好根基问题，那么进一步考虑其半单性结果就容易多了。在无限维李代数中，可数无限维李代数、理想有限李代数、局部幂零李代数和有限生成李代数是比较具体、且有很好的性质的几类，可以对这几类具体的李代数研究其根的情形。本文对可数无限维李代数推证了PBW定理，构建了从可数无限李代数L到结合代数U的到内同构映射。为了确保后面研究的意义，本文先举例说明确实对于一种特殊的无限维李代数有根基存在。然后对几类无限维李代数分别研究，并给出它的幂零根、拟幂零根以及局部幂零根等结果。最后从结构上考虑，利用定理1中得到的嵌入同构映射，将结合代数和李代数的结构联系起来，得出相应的结果。