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一、简答题

1． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

2． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

3． 写出在【答案】

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

表象中的泡利矩阵。

4． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

5． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

6． 波函数

表示在时刻

附近

体积元中粒子出现的几率密度。

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

的物理含义是什

是否描述同一状态？

【答案】

与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

7． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

8． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】一级修正波函数为二级近似能量为其中

9． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

10．自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

二、证明题

11．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

所以

12．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

这就意味着，此态要么是自旋朝上

即都为自旋分量的本征态。在

这两个本征态中，测量自旋分量的平无值分别为

和

三、计算题

13．—体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。

【答案】至二级修正的能量公式为

其中

分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得

n=2时，将m=l, 3代入II 式可得

n=3时，将m=l, 2代入II 式可得

再分别由I 式、III 式、IV 式和V 式可得

14．某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种

：

（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋

的全同粒子（例如电子）。

【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。

有如下六种：

现在受到微扰的作用，

微扰矩阵元为

和c 都是实数. 用微扰公式求

试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。