2016年四川理工学院建筑工程学院813运筹学考研冲刺模拟题及答案
● 摘要
一、证明题
1． 证明:r （x ）二x12+x22是严格凸函数。 【答案】首先求导为（2x l ，2x 2:） 求海塞矩阵
为正定矩阵，所以f （x ）为严格凸函数 2． 在M/M/1/N/∞模型中，如
，试证
应为，于是
。
【答案】系统在
t
时刻的顾客数
N （t ）仍是一生灭过程，
当t=+∞时，由系统的稳定状态概率可得
3． 设G=（V ，E ）是一个简单圈，令（称
为G 的最小次）。证明:（l ）若，则G 必有圈； （2）若
，则G 必有包含至少
条边的圈。
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且
有
（3）设G 是一个连通图，不含奇点。证明:从G 中丢失任一条边后，得到的图仍是连通图。 【答案】（l ）因为G （V ，E ）是一个简单圈，故该图中无环，也无重复边。若G 中无圈，则G 可能是树或非连通图，这两种情况均存在悬挂点，即
相矛盾。故假设不成立， 所以，G 必有圈。
（2）若的次至少为
，设与，也至少与
对应的点为v k ，则v k 必与个端点相连。如果v k 与v i 这
个端点相连。由（l ）的结论知，G
个端点不构成圈，那么在端
条边的圈。
v k 至少与这中必有圈（由于对圈中的连通图而言，点处必向外延伸（因为最小次为另一端点，对该圈而言，边数大于
个端点构成圈）。
，假设
， 不与其中某点相连，必与其外某点相连）经连通链而到
条，故G 必定 是包含不少于占
（3）证明:因为G 连通且不含奇点，故d （v ）=2n，且该图中无悬挂点。由题（l ）的结论知，G 必有圈。又因为G 是连通的，所以从G 中去掉任一条边，都必在某一圈中。而从圈中去掉任一条边，所得图仍是连通图。 4． 对于M/M/c/∞/∞模型，（1）
【答案】（l ）因为以（2）
即其中，
为系统服务台的平均空闲个数，
则为系统服务台的平均
。
；（2）
，其中
是每个服务台的平均服务率，试证:
，并给予直观解释。
为系统服务台的平均繁忙个数，即为服务台的强度，所
繁忙个数，即为服务台的强度。 5． 证明:矩阵对策
的鞍点不存在的充要条件是有一条对角线的每一个元素均大于另一对角线上的每一个元素。 【答案】（l ）先证充分性，要使鞍点存在，
就必存在
①
可假设主对角线的每一个元素均大于次对角的每一个元素，即
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使对一切，
有
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