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一、填空题

1． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

2． 一粒子的波函数【答案】 3．

表示_____，几率流密度表示为_____。

则粒子位于间的几率为_____。

【答案】几率密度；

4．

当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.

【答案】测量的干扰

【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.

5． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067

（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，

即所求概率为

（2）A

【解析】取x 为原点，则有波函数为

所求概率即

6． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

二、选择题

7． 给出如下对易关系：

【答案】 8．

_____

_____

_____

_____

_____。

【答案】

9． 在量子力学中. 对每一个物理量A , 都有一个厄米算符

【答案】B

【解析】物理量平均值定义

为

考虑到正交归一化条件

分别为物理量本征值及取值概率，

而和力学量算符的厄米性，于是

与之对应，

若体系处在由波函数

描述的态中. 则在t 时刻. 对物理量A 测量时所得的平均值A. t为（ ）。

10．下面哪组是泡利矩阵（ ）. A. B. C.

D. 【答案】A

再由

最终推导出泡利矩阵只能

【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系为

11．量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。 【答案】厄密；完全系

12．正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】

三、证明题

13．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

所以

14．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

四、计算题

15．设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量

本征值为

因此定态方程

t 时刻，电子波函数满足：

因为

故：

所以：

其中，为自的解为：

的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。