● 摘要
随机偏微分方程比经典的偏微分方程更能准确的描述自然现象中的问题, 因此成为了许多数学家广泛关注的热点问题. 近几十年来，随着Sobolev空间理论在随机过程体系上的应用, 随机偏微分方程在理论和应用上都取得了很大的发展. 在数值方法方面也取得了很大的进步, 出现了许多有意义的研究成果.随机波方程和随机弹性方程是最基本的两种数学模型, 在物理学、生物学、海洋学和结构工程学等领域有着广泛的应用, 因此近十几年其数学理论成为了研究的一个热点问题. 随机Navier-Stokes方程是流体普遍遵循的随机偏微分方程, 是研究非线性问题的有效模式. 而随机Stokes方程是随机Navier-Stokes问题的线性化, 研究随机Stokes问题的数值方法对研究随机Navier-Stokes方程数值方法有着重要的作用. 因此本文研究带有噪音项的随机弹性方程和随机波方程的有限元方法和随机Stokes方程的非协调有限元方法.一、针对四阶双曲方程, 本文研究了基于C0和C1元半离散和全离散有限元方法. 基于半群方法, 首先研究了线弹性方程解在时间和空间方向上的正则性. 其次, 基于C0和C1元研究了四阶双曲方程半离散和全离散有限元误差估, 并得到了C1元的最佳误差估计.二、针对Q-维纳过程噪音项的随机弹性方程, 本文研究了基于C0和C1元半离散和全离散有限元方法的强误差和弱误差. 首先, 基于半群方法, 研究了随机弹性方程弱解的存在性、唯一性和正则性. 其次、基于半群理论框架, 利用线性弹性方程有限元误差估计研究了随机弹性方程的C0和C1元的半离散和全离散有限元方法的强误差, 并得到强误差收敛阶. 最后，将C0和C1元的半离散和全离散有限元问题转化为了一个统一的抽象问题, 然后利用随机弹性方程对应的Kolmogorov方程推出了有限元问题弱误差的抽象表达方式, 再使用误差抽象表达式和线性弹性方程有限元误差研究了随机弹性方程有限元弱误差, 得到的弱误差在时间和空间上收敛精度都是强误差的2倍.三、针对带有布朗片噪音项随机波方程和随机弹性方程统一的模型, 本文用一个统一框架研究了这两个方程的全离散有限元方法. 首先，用分片常数逼近布朗片噪音项,将随机双曲方程转化为正则化随机方程, 然后用格林函数的有关性质得到了正则化方程的误差估计. 其次, 在时间方向上采用指数法离散正则化随机双曲方程, 并估计了指数方法的误差. 最后, 研究了线性双曲方程的有限元误差估计, 得到了线性双曲方程离散算子的格林函数, 然后利用离散算子的格林函数得到了随机双曲方程的全离散有限元方法的误差估计.i四、针对随机Stokes方程, 本文首先介绍了随机Stokes方程弱解的表达形式, 然后用分片常数逼近空间白噪音项, 将随机Stokes方程正则化, 并给出了正则化随机Stokes方程的非协调有限元方法的弱变分格式. 其次研究并得到了由于非协调离散空间而产生的一致误差的估计, 随后在此基础上利用对偶方法得到了随机Stokes方程速度在L2范数和压力在H−1范数下的误差估计.五、针对上述问题, 本文进行了数值模拟. 对带有Q-维纳过程噪音项随机弹性方程,本文采取截断级数方法处理噪音项, 在此基础上给出了其在时间方向上有限元方法的强误差和弱误差数值试验结果; 针对带有布朗片噪音项随机波方程和随机弹性方程, 本文给出在时间方向上的误差数值试验结果和数值解模拟图; 针对随机Stokes方程, 本文应用Monte-Carlo算法实现了非协调有限元方法的数值试验结果.