● 摘要
非线性科学是研究自然科学各个学科领域中非线性现象的一门交叉学科，主要包括孤子、混沌、分形三大部分。其中，孤子理论是近年来的一个研究方向，在流体力学等领域也取得了很多成果。孤子理论是以非线性发展方程为载体，从研究其可积性、求解方法及相关内容而建立的。随着计算机技术的发展，求解非线性发展方程的精确程度也随之提高。由此带动人们关注现实问题，界面不均匀、地域环境复杂，如果只是研究常系数、低维、单一模式的非线性发展方程往往忽略了外界因素，容易缺失实用性，不足以更好地刻画现实问题，而高阶、高维、耦合、变系数发展方程会更好地描述复杂系统。由此形成了当今研究描述复杂状态、复杂环境下的非线性发展方程求解及相关问题的方向。本文是借助计算机符号计算，研究了几个流体力学、等离子体动力学以及光纤通信中具有高阶、高维、耦合、变系数非线性发展方程的可积性问题、孤子求解问题，以及多孤子解及其分析等问题。本文研究的模型包括：1.受外力作用下变系数广义耦合Korteweg-de Vries（KdV）模型；2.变系数(2+1)维非线性耦合可积广义Kaup模型；3.变系数(2+1)维破裂孤子方程；4.变系数(2+1)维广义耦合破裂孤子方程；5.广义五阶KdV模型；6.受外力影响下变系数广义五阶KdV类模型；7.变系数广义圆柱型Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程；8.变系数广义Gardner模型；9.受外力作用下变系数KdV方程；10.变系数Hirota-Satsuma耦合KdV方程；11.变系数广义耦合的Hirota-Maxwell-Bloch系统。 基于上述的模型，本文的主要内容概括如下： （1）模型都是具有实际流体力学及物理背景的模型。考虑了现实问题，对应着界面不均匀、地域环境复杂，各种因素影响、各种模式耦合情况下出现的高阶、高维、耦合、变系数、外力因素影响下的模型。（2）采用的方法：部分方法是对孤子理论中的求解方法进行了一些改进和推广后应用于方程，并比较效果好于改进前的方法效果；部分方法是将孤子理论中的求解方法，以系统的算法化的形式推广应用于方程中，对方法的应用范围进行了推广。（3）研究了变系数非线性发展方程的Painleve可积性问题，并得到变系数非线性发展方程可积性条件。（4）得到了模型的孤子解解析表达式的一般形式。除了改进和扩展的Tanh函数法只给出了模型的解析解一般表达式外，其它方法全部给出了模型解析的N-孤子解一般通式。（5）利用不同的方法构造出模型不同形式的Backlund变换：（a）利用变系数均衡作用法构造出模型的Backlund变换；（b）利用非线性变量分离法构造出模型的Backlund变换；（c）利用Hirota双线性方法构造出模型双线性形式的Backlund变换；（d）利用Painleve分析及截断展开构造出模型的Backlund变换。（6）利用Darboux变换原则构造出变系数（2+1）维非线性发展方程的N次-Darboux变换。（7）对于方程的孤子解，都给出相应的图形描述，分析了孤子的传播状态，讨论了变系数的相应因素对孤子传播过程的影响，解释了孤子相互作用的状态和动力学特征。 内容具体安排为： 第一章，简要介绍了非线性发展方程的基本内容、孤子理论基本内容，本文的立论背景、研究工作及内容安排。 第二章，利用扩展了的变系数均衡作用法研究了流体力学、等离子体力学的两个模型：受外力作用下变系数广义耦合Korteweg-de Vries（KdV）模型；变系数(2+1)维非线性耦合可积广义Kaup模型。两模型均描述非均匀或无序状态的系统。利用变系数均衡作用法对两模型导出了各自的Backlund变换、孤子解的解析表达式，尤其对变系数（2+1）维耦合可积广义Kaup型模型给出了N-孤子解析解表达式。从图形中解释了变系数对孤子间的相互作用都有影响的结论。 第三章，所应用的非线性变量分离法是一种对多线性分离变量法的改进方法，其核心思想虽与多线性分离变量法基本一致，但由于和Painleve分析及截断展开式结合后所形成的方法，简化了计算的过程，解决了流体力学、等离子体力学的变系数(2+1)维广义耦合破裂孤子方程求解问题。此方法的特点：计算过程比多线性分离变量法简单。利用这种非线性变量分离法导出了方程的Backlund变换；得到了方程解析的变量分离解；并利用方程解含任意低维函数的特点，求得了方程不同的局域激发模式，丰富了方程孤子局域激发结构的多样性和特殊性状态，特别是得到了非均匀介质下多孤子局域激发新型结构。从新型孤子局域激发结构的图形中分析了它们随变系数函数变化而变化的传播状态和动力学特性。 第四章，主要以Hirota双线性方法为主，结合Painleve可积性分析、Lax对、Backlund变换完成了对Hirota双线性方法的推广，利用这些方法的各自特点分解了问题的难度，形成了一种适合变系数非线性发展方程的变系数双线性方法。本章利用变系数双线性方法研究了流体力学、等离子体力学的3个变系数模型：1、变系数广义Gardner模型；2、变系数广义圆柱型KP模型；2、受外力影响下变系数广义五阶KdV类模型。3个模型具有高阶、高维、耦合、变系数、外力项5个特点问题，利用变系数双线性方法处理了这3个模型，对方程进行了可积性分析、找到了保证方程可积的变系数之间的约束条件，构造双线性型Backlund变换，获得了3种模型N孤子解析解。使得方法应用上的创新带动了方法上的创新。根据孤子的图形分析了个模型多孤子传播状态，解释了变系数因素的影响导致孤子的状态出现的变化，并给出了动力学机制分析。本章还利用Hirota双线性方法研究了广义五阶KdV模型孤子解及其相关问题。 第五章，是以Painleve分析法及其截断展开式，结合Hirota方法、Backlund变换综合应用解决了流体力学、等离子体力学的变系数(２＋１)维破裂孤子方程的可积性分析；得出方程可积的条件，此条件是能够求出解析孤子解的必要条件：构造了变系数(２＋１)维破裂孤立子方程的Backlund变换，是完成方程能给出孤子解表达式不可缺少的中间环节；得到了方程解析的N-孤子解；从孤子演化图分析得到了孤子在传播过程中具有的弹性碰撞特点，解释了动力学特征。 第六章，研究了如何构造流体力学、光纤通信等领域的变系数广义耦合Hirota-Maxwell-Bloch系统的N次-Darboux变换，并利用构造得到的N次-Darboux变换得到方程的孤子解。本章是基于Darboux变换的基本思想，通过变系数广义耦合Hirota-Maxwell-Bloch系统对应的线性系统构造一种规范变换，借助于计算机符号计算得到了N次-Darboux变换。利用得到的N次-Darboux变换，证明了可以得到方程的N-孤子解。由此也分别得到单孤子解、双孤子解和三孤子解。对应孤子的图形，尤其通过双孤子解图形分析了孤子的振幅、宽度、初始相位及能量等力学特性，利用渐进分析对双孤子碰撞前后的机制进行分析，得出弹性碰撞的结论。通过三孤子的图形得到了三孤子碰撞特点，且分析三孤子碰撞机制和动力学特征。N次-Darboux变换的好处是不用经过一次一次的Darboux变换迭代，便可得到方程的多孤子解，取定谱参数便得到Darboux变换的结果，在迭代过程中谱参数选取与次序无关。 第七章，借助于Tanh-函数展开法的基本思想，给出了一种改进的截断展开法。该方法不仅在Tanh-函数展开法展开式给出了推广，而且对辅助函数的表现形式做出了改进。利用改进方法求得了浅水长波近似方程的解析孤子解，其结果与之前的方法相比能得到方程更多形式的新解析解，并可以应用于其它非线性发展方程的孤子解求解问题。另外将扩展的Tanh函数法应用于两个方程：变系数的Hirota-Satsuma耦合KdV方程和变系数KdV方程，将其各自的求解问题转化为代数方程组的求解问题，得到了两个方程各自的的解析解表达式。由于两个方程系数都是随时间变量t和空间变量x的函数，在求解代数方程组时要对系数函数分析讨论，给出相应的可解条件，从而可利用该方法求出变系数非线性发展解析解。从孤子的图形可以看出，孤子的变化状态随着变系数的不同而变化。 最后的结束语对全篇论文进行了总结，并列出了对未来工作的展望。