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一、计算题

1． 设某人有400万元资金，计划在四年内全部用到投资中去。己知在一年内若投资用去x 万元，就能获 得

万元的效用。每年没有用掉的金额，连同利息（年利息10%）可再用于下一年的投资。而每年己打算用于投资的金额不计利息。试制订金额的使用计划，而使四年内获得的总效用最大。 （l ）用动态规划方法求解; （2）用拉格朗日乘数法求解;

（3）比较两种解法，并说明动态规划方法有哪些优点。 【答案】（l ）用动态规划方法解。

2，3，4; 设状态变量s k 为第k 年年初可供投资金额，将问题划分为四个阶段k=1，

决策变量x k 为第k 年实际用于投资的金额; 设最优值函数的最大效用。

该问题的递推公式为:

当k=4时，当k=3时，令所以当k=2时，令所以当k=1时，

得极大值点

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;

表示从第k 年至第4年末所得到

得极大值点

得极大值点

所以

所以该问题的最优解为:

为z*=43万元。

（2）用拉格朗日乘子法求解如下。

；又由题意知s 1=400，所以

=86万元，

=104万元，

=126万元

万元。

=153万元；其最优值

，获得效用为设第i （i=1，2，3，4）年用于投资的金额为x i （万元）金额为y j （万元）（其中y 4=0）。于是可建立数学模型

（万元），没有用掉的

设

其中

为拉格朗日乘子，

为拉格朗日函数。分别将L 对

y j ，求偏导数，并令其为零，即

解得：

和

由

得

，x 2*=104（万元），x 3*=126（万元），x 4*=153（万元）所以x l *=86（万元）。 （3）两种解法的比较: 两种方法的结果相同。

但用动态规划方法求解有如下优点:

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①容易确定全局最优解;

②不仅能得到最终解，而且得到了包含所有子过程的一族解，这样便于分析结果，同时又大大节省了计算量。

2． 考虑如下投资组合问题，有两只股票l 和2，可用股票收益的均方差度量投资该股票的风险，用两只股 票收益的协方差度量股票之间的交叉风险。两只股票的期望收益、风险、以及交叉风险如表所示。

表

现欲确定最佳投资组合，使得在保证期望收益不少于:o%涌提下不示中股瓢组合风险（即组合收益的 均方差）最小。

（l ）建立该问题的数学规划模型。

（2）求出最优投资组合（每种股票所占的百分比）及相应的风险。 【答案】（l ）设两种股票A 1、A 2，所占的投资比例分别为x l ，x 2

构建数学规划模型如下：

（2）求解数学模型

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