● 摘要
在自然界中，单种群是组成整个种群系统的基本单元，因此对单种群模型解的各种性态的研究，为讨论复杂模型的动态行为奠定了基础.本文讨论了两类具有分段常数变量和时滞单种群生态模型正平衡态的局部渐近稳定性、Neimark-Sacker分支和Flip分支等问题.通过对此类生态模型动力学行为的研究，从而使人们可以认识自然界种群的发展规律，对更合理、科学的利用自然资源以及保护生态环境具有一定的理论指导意义.
种群数量(密度)一方面通常与种群的出生率、死亡率、人类的捕获及环境变化等因素有关，这些因素对种群数量的影响大多数都具有一定的滞后效应，这种滞后现象在所建立的数学模型中一般表现为时滞效应；另一方面由于大多数种群受季节性繁殖、迁徙等干扰，种群数量(密度)在一定范围内会产生间断性的周期变化，通常用带有分段常数变量的数学模型给以刻画.本文第二章主要研究了具有时滞和分段常数变量的单种群收获模型
正平衡态的局部渐近稳定性、Neimark-Sacker分支的存在性和非退化性.利用特征值理论和Jury判据给出模型正平衡态局部渐近稳定、Neimark-Sacker分支存在的充分条件；根据分支理论与中心流形定理得到了决定分支周期解的方向与非退化性的系数具体表达式；通过实例与数值模拟验证所得结论的正确性与可实现性.
在生态系统中，任何一个生物个体的增长都离不开食物供给，而其生存环境的食物有限，因此对食物有限生物系统数学模型解的动力学行为的分析显得尤为重要.近年来，食物有限生态模型深受生态学者的青睐，并得到广泛的应用.本文第三章提出了具分段常数变量的时滞食物有限生物系统数学模型
基于第二章的理论基础，利用规范型理论和中心流形定理证得模型在一定条件下存在Flip分支与Neimark-Sacker分支，并讨论了分支的存在性和稳定性条件.最后通过数值模拟验证了理论分析与数值计算的一致性，演绎了模型复杂的动力学行为，例如得到了周期为2、4、8、16的倍周期分支甚至混沌等现象.
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