● 摘要
设$cal H$是复可分的希尔伯特空间,$cal B(H)$表示 $cal H$上的所有有界线性算子构成的Banach空间. 如果 $Pin {cal B(H)}$满足条件$P=P^2=P^*$, 我们称$P$为$cal H$上的一个正交射影；如果 $Pin {cal B(H)}$仅满足条件$P^2=P$, 我们称$P$为$cal H$上的一个幂等算子；如果 存在大于和等于2的正整数$k$,使得$Pin {cal B(H)}$仅满足条件$P^k=P$, 我们称$P$为$cal H$上的一个$k$次幂等算子；如果$Pin {cal B(H)}$仅满足条件$P^2=P^*$, 我们称$P$为$cal H$上的一个广义射影;如果存在大于和等于2的正整数$k$,使得$Pin {cal B(H)}$仅满足条件$P^k=P^*$, 我们称$P$为$cal H$上的一个$k$次广义射影。幂等算子相关问题的研究结果一般都可以推广到$k$次幂等算子，广义射影相关问题的研究结果一般都可以推广到$k$次广义射影。本文主要研究了两个方面的问题，两个正交射影线性组合的Drazin逆，广义射影和$k$次广义射影的道路连通性。\
正交射影与幂等算子的研究由来已久(参见文献[1-16])，杜鸿科和邓春源得出了两个正交射影线性组合的逆与系数选取无关的重要结论(参见文献[13])，两个正交射影的积与差的的Drazin逆和广义逆也有了比较彻底的结论(参见文献[14-16])。在本文中，我们将研究两个正交射影线性组合的Drazin逆和广义逆，证明了这两种逆存在的等价性。近十年来, 广义射影的相关问题吸引了一大批学者, 如杜鸿科, 李愿, 刘晓冀，J. Gro${ss}$, G. Trenkler，O. M. Baksalary, J. K. Baksalary,G. W. Stewart，J. Benitez, L. Lebtahi, N. Thome等, 他们广义射影的相关问题进行了深入的研究(参见文献[17-26])。 广义射影的概念是杜鸿科教授和李愿老师在文献[21]中首次提出的。1997年J. Gro${ss}$和G. Trenkler合作发表了Generalized and hypergeneralized projectors一文(参见文献[22])。文中作者在有限维的希尔伯特空间上引入了广义投子和超广义投子的概念。杜鸿科教授和李愿老师在文献[21]中把广义投子的概念推广到了无限维的希尔伯特空间上，从而引入了广义射影的概念。文献[21]的一个重要价值在于它给出了广义射影的谱刻画。这是研究广义投子与广义射影的一个很有力的工具。在前人对于广义射影的研究中，广义射影的道路连通问题一直未被涉猎。在本文中，我们将利用广义射影的谱刻画，彻底解决广义射影的道路连通问题。
本文共分为三章,主要内容如下,\
第一章主要介绍关于正交射影和广义射影的预备知识。本章分为两节，第一节介绍前人关于正交射影的研究成果；第二节介绍广义射影的概念,刻画(包括J. Gro${ss}$， G. Trenkler的原始刻画，J. K. Baksalary， 刘晓冀的替换刻画与杜鸿科教授和李愿老师的谱刻画)和前人的研究成果（包括前人对于有限维的希尔伯特空间上广义投子的线性组合保持问题的研究结果）。\
第二章在研究和解决了两个正交射影的线性组合的Drazin可逆性问题。 本章分为两节，第一节简单回顾了前人关于两个正交射影的积与差的Drazin可逆性和Moore-Penrose可逆性的研究成果。第二节给出了当系数之和非零时,两个正交射影的线性组合的Drazin可逆性与系数的关系。\
第三章主要介绍和探讨了广义射影的道路连通问题。本章分为三节，第一节利用广义射影的谱刻画，彻底的解决了广义射影的线段存在问题和道路连通问题。第二节把道路连通问题推广到$k$次广义射影，着重解释了$k$次广义射影的线段存在问题和道路连通问题与广义射影的研究中所得到的结论细节上的区别。第三节探讨了广义射影相关的一些遗留的研究问题。\\