● 摘要
捕食者与食饵之间的相互作用对复杂生态系统中物种的多样性在本质上起到了很大的作用, 因此,在理论上对捕食-食饵关系进行定性和定量分析具有重要意义, 进而成为种群生物学中的一块重要领域.
本文共分四章, 主要讨论了三种不同的捕食-食饵模型解的性质.
第一章介绍了捕食-食饵模型的相关背景和研究成果.
第二章在齐次~Dirichlet~边界条件下研究了一类受顶级捕食者影响
的 Holling II 型捕食-食饵模型
$$left{
egin{array}{ll}
u_t-Delta u=ru(1-dfrac{u}{k})-dfrac{cuv}{a+u}, & xinOmega,t>0,\
v_t-Delta v=dfrac{alpha cuv}{a+u}-dfrac{dv}{b+v}-ev, & xinOmega,t>0,\
u=v=0, & xinpartialOmega,t>0,\u(x,0)=u_0(x)geq0,~
otequiv0,~v(x,0)=v_0(x)geq0,~
otequiv0,&xinOmega.
end{array}
ight.eqno{}$$
首先, 通过比较原理给出模型平衡态解的先验估计, 运用LeraySchauder 度理论给出正解存在的条件; 接着, 以死亡 $e$ 为分歧参数, 讨论了发自半平凡解 $(u^*,0)$ 处的平衡解分支, 利用特征值线性扰动理论给出了局部分歧解稳定的充分条件; 最后, 将局部分歧解延拓为全局分歧解.
第三章在齐次 Neumann 边界条件下研究了一类基于比率的带有线性收获率的捕食-食饵模型
$$left{
egin{array}{ll}
u_t-d_1u_{xx}=u(1-u)-dfrac{auv}{u+v}-hu, & xin(0,lpi),t>0,\
v_t-d_2v_{xx}=dfrac{buv}{u+v}-cv, & xin(0,lpi),t>0,\
u_x(0,t)=v_x(0,t)=0,~u_x(lpi,t)=v_x(lpi,t)=0, & t>0,\
u(x,0)=u_0(x)geq0,~v(x,0)=v_0(x)geq0,&xin(0,lpi).
end{array}
ight.eqno{}$$
在空间齐次和非齐次情形下, 分析了该模型产生 Hopf 分歧的条件, 利用规范型理论和中心流形定理, 得出在空间齐次情形下, 从正常数平衡解处产生的 Hopf 分歧的方向是超临界的, Hopf 分歧周期解渐近稳定.
第四章研究了一类具有修正的 Leslie-Gower 项的捕食-食饵模型
$$left{
egin{array}{ll}
ilde{u}_t-d_1Delta ilde{u}= ilde{a} ilde{u}(1-dfrac{ ilde{u}}{K})-dfrac{ ilde{lambda} ilde{u} ilde{v}}{(1+ ilde{c} ilde{u})(1+ ilde{d} ilde{v})}, & xinOmega,t>0,\
ilde{v}_t-d_2Delta ilde{v}= ilde{v}( ilde{b}-e_2 ilde{v}-dfrac{ ilde{mu} ilde{v}}{ ilde{u}+ ilde{r}}), & xinOmega,t>0,\
ilde{u}= ilde{v}=0, &xinpartialOmega ,t>0,\
ilde{u}(x,0)= ilde{u}_0(x),~ ilde{v}(x,0)= ilde{v}_0(x),&xin Omega.
end{array}
ight.eqno{}$$
利用 Lyapunov-Schmidt 方法, 研究了该模型对应的椭圆系统二重分歧解的存在性和渐近稳定性.