● 摘要
恒化器是一类描述开放生态系统和实验室生物反应器中物种竞争的基本数学模型. 本文研究如下具有拥挤效应的非均匀恒化器:
egin{equation*}
left{
egin{array}{ll}
S_{t}=d_{0}S_{xx}-auf_{1}(S)-bvf_{2}(S), & xin(0,1), t>0,\
u_{t}=d_{1}u_{xx}+auf_{1}(S)-alpha u^{2}, & xin(0,1), t>0,\
v_{t}=d_{2}v_{xx}+bvf_{2}(S)-eta v^{2}, & xin(0,1), t>0,
end{array}
ight.
end{equation*}
边界条件为
egin{equation*}
left{
egin{array}{ll}
S_{x}(0,t)=-1,quad S_{x}(1,t)+gamma S(1,t)=0, & t>0,\
u_{x}(0,t)=0,qquad u_{x}(1,t)+gamma u(1,t)=0, & t>0,\
v_{x}(0,t)=0,qquad v_{x}(1,t)+gamma v(1,t)=0, & t>0,
end{array}
ight.
end{equation*}
初始条件为
egin{equation*}
S(x,0)=S_{0}(x)geq0,quad u(x,0)=u_{0}(x)geq0,
otequiv0,quad v(x,0)=v_{0}(x)geq0,
otequiv0.
end{equation*}
拥挤效应的引入, 使得该模型不满足生物量守恒定律. 本文主要运用广义最大值原理、拓扑度理论和分歧理论, 研究模型半平凡解的存在唯一性、共存解的存在性和稳定性, 并分析拥挤效应对共存解渐近性态的影响. 主要内容如下:
第一章介绍了恒化器模型的生物背景和研究进展, 并给出了本文所需的一些预备知识.
第二章主要运用拓扑度理论研究半平凡解的存在唯一性及正解的存在性. 首先, 运用广义最大值原理和不动点指标理论, 得到了半平凡解的存在唯一性. 其次, 讨论了半平凡解的一些性质. 最后, 运用拓扑度理论证明了正解的存在性.
第三章主要研究模型共存态的分歧解, 并分析拥挤效应对共存解渐近性态的影响. 首先, 我们以~$b$~为分歧参数, 从半平凡解分支出发, 研究了发自单重特征值处的局部分歧和全局分歧情况, 结果表明分歧曲线连接了两个半平凡解. 其次, 证明了在平凡解处发自二重特征值的分歧解的存在性和稳定性, 即平凡解附近存在正解且渐近稳定. 最后, 研究了拥挤效应对模型共存解渐近性态的影响.