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一、计算题

1． 在基态氢原子被外来单色光激发后发出的巴耳末系中，仅观察到三条谱线，试求：（1）外来光的波长；（2）这三条谱线的波长。

【答案】（1）以m 表示氢原子的低能级，n 表示氢原子的高能级，根据氢原子光谱的实验规律，当原子由高能态n 向低能态m 跃迁时，其发射光子的频率为：

把原子从基态m=l激发到n=5的能级所需能量为：式中，

为外来光的光子的频率

：

能态，向

能态跃迁，代入公式波长

因此，外来光子的波长为：（2）巴耳末系

的波长可表示为：

激发的三条巴耳末系谱线分别为氢原子由分别为：

2． 在工程上常常用多个弹簧振子的串联来描述一个实际的力学系统（如图1所示），例如一列火车是多节车厢挂接在一起，每节车厢可看作是一个弹簧振子。分析由多个振子串联系统的运动是很有意义的工作，为简单起见，试对两个弹簧振子串联的振动作一描述。设两个振子的劲度系数相同均为0.5 N/m，质量分别为0.5kg 和1kg , （1）写出两弹簧振子的运动方程；（2）编写一计算机程序，求解该运动方程组并画出两弹簧振子的位移曲线图；（3）从所得的结果是否可以判断两弹簧振子作什么性质的振动（周期振动或混沌）？

图1

【答案】（1）两弹簧振子的运动方程分别为：

（2）两弹簧振子的位移曲线如图2所示。

图2

参考程序：

（3）由于两弹簧振子的简谐振动仍是周期振动。

3． 圆柱体固定不动，其轴线与水平面垂直。很轻的不可伸长的柔软细线全部缠绕在圆柱体上且在同一水平面内，线末端系一小球，紧贴圆柱体表面。突然给小球一击，使之具有在水平方向并与圆柱体垂直的初速度

于是缠绕的细线开始从圆柱体上解开。设解开过程中细线与圆柱体之间

无相对滑动，且重力可略，即小球始终在 水平面内运动。试求：

（1）小球的加速度； （2）小球的轨迹方程。

图

1

图2

【答案】（1）如图1所示，设在某时刻t , 细线已解开的长度为1; 在长度为

设圆柱半径为r ,

由于大小不变，由几何关系，有

即

式（2）给出了细线解开的长度1随时间t 的变化关系。 如图1所示，有

故加速度大小为

由式（2）求出

，得出

代入式（3）

a 的方向指向细线与圆柱的切点，加速度a 实际上是小球瞬时圆周运动的法向加速度。 ，相应的（2）如图2所示，取平面直角坐标Oxy , t=0时，小球位于（r , 0）刻t , 解开的线长为1，小球与O 点的距离为

，有 由式（1）、式（2）

时刻，细线已解开的

积分，因初始条件为t=0时1=0，得

在任意时