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2017年陕西省培养单位西安光学精密机械研究所811量子力学考研导师圈点必考题汇编

  摘要

一、填空题

1. 力学量算符必须是_____算符,以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米;实数

【解析】力学量的测量值必须为实数,即力学量算符的本征值必须为实数,而厄米算符的本征值为实数,于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.

2. —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

的几率密度表达式为_____,表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

3. 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态,最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】

4. —粒子的波函数为【答案】

写出粒子位于

的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

则粒子位于

间的几率为_____。

间的几率的表达式_____。

5. 粒子在一维势阱中运动,波函数为

【答案】

6. 一粒子的波函数【答案】

的跃变条件为_____。

二、简答题

7. 什么样的状态是定态,其性质是什么?

【答案】定态是能量取确定值的状态,其性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

8. 写出测不准关系,并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

时有确定的测值。

9. 厄米算符的本征值与本征矢

物理含义:若两个力学量不对易,则它们不可能同

分别具有什么性质?

【答案】本征值为实数,本征矢为正交、归一和完备的函数系。

10.什么是塞曼效应?什么是斯达克效应?

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象;斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

11.以能量这个力学量为例,简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中,能量

用算符表示,

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值,即

当体系处于一般态

的本征态

时,算符对

的作

时,算符对态

,即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅(从而就得到了相应几率)

12.写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

13.在量子力学中,能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态?

【答案】不能。因为在量子力学中,粒子具有波料二象性,粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

14.分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态?

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时,波函数趋向零,称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态,则称该本征值是简并的,所对应的本征态即为简并态,本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号,若新波函数与原波函数相差一个负号,则称其为负宇称态。

三、计算题

15.质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. (a )建立适当的坐标系,写出哈密顿算符,求解定态薛定谔方程. (b )当粒子处于状态率. 其中(c )若上式的

分别是基态和第一激发态.

是t=0时刻的波函数,求粒子在其后任意时刻的波函数.

时,求测量粒子能量时的可能取得及相应的概

【答案】(a )如图建立坐标系,

设波函数当当令

哈密顿算符

满足薛定谔方程时,时,

的通解可表示为

利用边界条件由归一化可解得

得,

定态薛定谔方程的解为

对应的定态能量为(b )当粒子处于态

几率1/4 ;

几率3/4

时,能量的可能值及几率为:

(c )任意时刻t 的波函数可以表示为下面形式其中

故任意时刻t 的波函数其中

在此题中