2017年鲁东大学数学与统计科学学院811高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
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3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
则线性方程组（ ）•
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
5． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
都是4维列向量，且4阶行列式
6． 设
二、分析计算题
. 是线性空间V 上的双线性函数，试将
表示成一个对称双线性函数与一个
反对称双 线性函数之和，并证明表示法唯一.
【答案】令
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直接验证可知g 是对称双线性函数，h 是反对称双线性函数，且这里
为对称双线性函数，
为反对称双线性函数. 于是
得
，得
代入式（10-4）
7． 设A 、B 是n 阶正交阵，且
【答案】A 、B 为正交阵，艮P 所以
故
又因为
所以
8． 设
证明：
下证唯一性. 若
（1）试给出A 可逆的条件，并求（2）当A 可逆时，二次型
是否正定？并说明理由.
【答案】（1）由拉普拉斯定理，在A 中取第1，2行，可算得
∴当
时，A 可逆. 且可求得
（2）当时，设二次型对应的矩阵为B , 则
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