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一、计算题

1． 从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布.

【答案】记X 为取出的5张牌中黑桃的张数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，5. 将52张牌分成两类：一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得

2． 某厂产品的不合格品率为0.03，现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？

【答案】设每箱装l00+k件产品，则每箱中的不合格品数X 服从二项分布b （100+k，0.03）. 根据题意要求k ，使X 小于等于k 的概率至少为0.9，即式的

k

在此p=0.03，n=100+k较大，可用二项分布的泊松近似，得式可改写为

查泊松分布表得

故取k=5是恰当的，即每箱中装105件产品可使每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9.

3． 一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列：

（1）X 表示两次中所得的最小点数； （2）Y 表示两次所得点数之差的绝对值.

【答案】（1）一颗骰子抛两次，共有36种等可能的结果.X 表示两次中所得的最小点数，则X 的可能取值为1，2，3，4，5，6。由确定概率的古典方法得

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也就是求满足下述不等

于是上

将以上计算结果列表为

表

1

（2）因为Y 表示两次所得点数之差的绝对值，所以1，的可能取值为0，1，2，3，4，5. 而

将以上计算结果列表为

表

2

4． 设二维随机变量

【答案】记因为

服从D 上的均匀分布, 且D 的面积

, G 的面积

5． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率θ（即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使先知道

结果又是如何?

是来自二点分布b （1, θ）的一个样本，就是样本中购买此种商品的顾

是θ的置信水

平为0.95的置信区间? 其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事

【答案】设

所以所求概率为

在边长为2, 中心为（0, 0）的正方形区域内服从均匀分布,

试求

客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，

在θ未知时，有

从而

即

这说明

区间的长度不超过2d ，即得

若α=0.05，

当d=0.01, 0.02, 0.03时可分别算得

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是θ的置信水平1-α的置信区间. 要求该置信

样本量

随d 的增加（精度减少）迅速降低.

对第二个问题，当己知时，由于

在

（或已知

是增函数，所以

，处理方法完全一样））

从而

这说明

信区间. 类似地，要求该置信区间的长度不超过2d ，即得到

譬如，

若已知

（即

）则

是θ的置信水平1-α的置

于是关于样本量的要求化为

与θ完全

仍取α=0.05，当d=0.01, 0.02, 0.03时分别算得

那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.

存在, 则对样本方差

, 有

其中

为总体X 的方差.

并以

简记从1到n 的求和, 于是

未知情况相比样本量约减少25%, 由此可见，若对θ事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过

6． 设总体4阶中心矩

【答案】为书写方便起见, 记

由于诸间相互独立, 且

所以,

故

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