● 摘要
至少含有一个中心的二次可积系统分为五类：Hamiltonian，可逆，余维4，广义的Lotka-Volterra，Hamiltonian 三角形，确定其对应的Abel 积分零点个数的上确界，即弱化的Hilbert 第16 问题，是当今分岔理论研究的热门课题之一.本文选取了一类代数曲线亏格数为1 的二次可逆非Hamiltonian 系统，研究了其周期环域的环性问题. 利用Picard-Fuchs 方程与Riccati 方程法，结合质心曲线和辅助曲线的性质，借助于其它的一些数学技巧，估计了相应的Abel 积分零点的个数，证明了所考虑的系统在任意二次小扰动下的周期环域的环性为2.全文由四章组成.第一章为绪论，主要对平面多项式微分系统的分岔理论的历史背景与研究现状进行了综述，并给出了本论文的主要研究内容.第二章对所研究系统进行定性分析，并介绍了所需要的相关概念与方法.第三章是对一个带有半环的二次可逆系统进行研究，证明了其周期环域的环性是2.第四章是对一个具有无界椭圆分界线的二次可逆系统进行研究，同样证明了其环性是2.第三，四章的结论证实了相关论文中对这两个系统环性的猜想.
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