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一、填空题

1． 图G=（V ，E ）有生成树的充分必要条件是___。 【答案】G 是连通图

【解析】图G 是连通图，如果G 不含圈，那么G 本身是一个树，从而G 使它自身的一个支撑树。现设G 含圈，任取一个圈，从圈中任意地去掉一条边，得到G 的一个支撑子图Gl 。如果Gl 不含圈，那么Gl 是G 的 一个支撑树，如果Gl 仍含圈，那么从Gl 中再任取一个圈，如此重复，最终可以得到G 的一个支撑子图Gk ， 它不含圈，于是Gk 就是G 的一个支撑树。

2． 在用对偶单纯形法求解某线性规划问题时, 当进基变量x i 确定后，出基变量的选取原则是:_____。 【答案】

二、选择题

3． 关于对偶问题，下列叙述错误的有（ ）

A. 根据对偶问题的性质, 当原问题为无解时, 其对偶问题无可行解; 反之当对偶问题无可行解, 其原问题具有无界解。

B. 若线性规划的原问题有多重最优解，则其对偶问题也一定具有多重最优解。

C. 己知y 飞为线性规划的对偶问题的最优解，若y*j>0，说明在最优生产计划中第j 种资源己完全耗尽

D. 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当种资源增加5个单位时，相应的目标函 数只讲增大sk 【答案】A

【解析】当原问题（对偶问题）无可行解时，对偶问题（原问题）或具有无界解或无可行解。 4． 单纯形法求解最大化线性规划问题，如果存在“左端≥右端常数”的约束条件，对此约束条件应引入（ ）。 A. 可控变量 B. 环境变量 C. 人工变量 D. 松弛变量 【答案】D

【解析】约束方程为“≥”不等式，则可在“≥”不等式左端减去一个非负剩余变量（也可称松弛变量）。

三、计算题

5． 试用变尺法解

小点处梯度的模不大于0.5。 【答案】取初始点

，取初始点，要求近似极

显然，，故

令，可得，于是

又因为，所以为近似极小点。

6． 某城市的消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个消防（救火）站。图表示各防火区域与消防 站的位置，其中①②③④表示消防站，1、2、…、11表示防火区域。根据历史资料证实，各消防站可在事先规定的允许时间内对所负责的地区的火灾予以消灭。图中虚线即表示各地区由哪个消防站负责（没有虚线连接，就 表示不负责）。现在总部提出:可否减少消防站的数目，仍能同样负责各地区的防火任务? 如果可以，应当关闭哪个?

图

提示:对每个防火站定义一个0-1变量x j ，令

然后对每个防火区域列一个约束条件。 【答案】定义：

于是，可建立如下数学模型：

由条件②，④，⑨可判定x l =x3=x4=1，分析可知（l ，0，1，1）为问题的一个可行解，此时z=3。假设可以减少一个消防站，即增加约束条件0，1，1）T 为可 行解，所以可关闭消防站②。

7． 某企业要投产一种新产品，投资方案有三个:S 1，S 2，S 3，不同经济形势下的利润如表所示。（1） 用乐观系数准则（α1=0.6，α2=0.4）进行决策。（2）用等可能准则进行决策。

表 单位：万元

。通过单纯形法计算可知，只有（l ，

T

【答案】（1）记经济形势好、平、差分别为j=l，2，3:投资方案S i 在经济形势j 下的收益为E ij 。 ①

因为

所以，采用乐观系数准则（α1=0.6）的决策为方案S 1。 ②

因为