2016年湖南师范大学物理与信息科学学院高等数学复试复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设某工厂生产x 件产品的成本为
（l ）当生产100件产品时的边际成本;
（2）生产第101件产品的成本，并与（l ）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.
【答案】（1）
（
（元/件）。
2
）
，函数c （x ）称为成本函数，（元）
成本函数C （x ）的导数C ’（x ）在经济学中称为边际成本，试求:
即生产第101件产品的成本为79.9元，与（l ）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本C’（x ）的实际意义是近似表达产量达到x 单位时再增加一个单位产品所需的成本。
2． 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F （单位:N ）与伸长量:（单位:cm ）成正比，即F=ks（k 是比例常数）. 如果把弹簧由原长拉伸6 cm，计算所作的功.
【答案】
3． 一曲线通过点
, 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程。
,
有
【答案】设曲线方程为y=f（x ）, 则点（x , y ）处的切线斜率为f’（x ）, 由条件得因此f （x ）为的一个原函数, 故有3, 解得C=1, 即得所求曲线方程为
, 根据条件曲线过点
4． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.
【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为
当R=4，H=20，△R=△H=0.1时
，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积
即溶器外壳的体积大约是
55.3
5． 设向量的方向余弦分别满足（1）与坐标轴或坐标面的关系如何?
【答案】（1）由（2）由（3）由
直于xOy 面.
6． 设有一物体，占有空间闭区域y ，z ）处的密度为
【答案】
.
；（2）
；（3）
，问这些向量
，知α=，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.
，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂
知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.
，知α=β=
，在点（x ，
，计算该物体的质量.
二、证明题
7． 设有一变力在坐标轴上的投影为
质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。
【答案】场力所作的功
由于
和
在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数，且
，故曲
，这变力确定了一个力场。证明:
线积分在xOy 面内与路径无关，即场力所作的功与路径无关。
8． 比重大的陨星进入大气层时，当它离地心为5 km时的速度与
2
以与s 成反比。
成反比，试证陨星的加速度
【答案】由题意知
2
即陨星的加速度与s 成反比。
，其中k 为比例系数，则
一、计算题
1．
设
为曲
面
.
【答案】设
为
所围成部分的下侧，记由
因为
所以
因此，计算得
2． 已知平面区域
【答案】
, 则
，计算二重积分
.
所围立体为
，则
的上侧，计算曲面积
分