● 摘要
在生态系统中, 种群的历史状态为其现在的发展提供了必备信息, 这种现象称为时滞干扰现象. 时滞现象对生态系统的各种性态会产生较大的影响, 这种现象往往通过时滞微分方程给以描述. 带有分段常数变量的微分方程近年来引起了研究者的广泛关注. 这类方程同时出现了连续和离散变量, 具有微分和差分方程的双重性质, 在生态数学中具有重要的实际意义. 本文讨论了两类具有分段常数变量的时滞单种群模型正平衡态的存在性、唯一性、局部稳定性及模型在正平衡态产生的分支问题, 包括分支的存在性、稳定性及方向等性质.
近年来，选择造血干细胞治疗疾病的方型, 医学界可以更好的从理论上分析和研法引起了医学界的重点关注. 借助于数学模究造血干细胞, 从而达到治疗人体造血系统疾病的目的. 本文第二章对具有分段常数变量的时滞血液模型
进行了研究, 就时滞、的不同取值对该模型的稳定性与分支情况进行了分析与讨论. 利用差分方程的特征值理论和Jury判据, 得到模型正平衡态满足局部渐近稳定性的充分条件; 依据分支理论, 对该模型的Neimark-Sacker分支及Flip分支的存在性条件进行了讨论; 基于中心流形定理、规范化理论, 研究了分支的方向与稳定性; 通过一些具体的实例, 验证了结论与条件的可行性与正确性.
Nicholson时滞苍蝇模型也是一类被大多数学者所关注的单种群模型, 并取得了大量的研究成果. 本文在第三章研究了具有分段常数变量的Nicholson时滞苍蝇模型
当时滞分别取值为0、1、2时的稳定性及分支问题. 利用特征值理论, 给出了模型局部渐近稳定的充分条件; 依据分支理论, 讨论了Flip分支及Neimark-Sacker分支的存在性条件; 基于中心流形定理和规范化理论, 研究了分支的方向, 同时讨论了分支周期解的稳定性; 通过举例, 验证了理论分析与数值计算是一致的.