● 摘要
整体吸引子理论是偏微分方程和无穷维动力系统的重要研究内容. 分数阶偏微分方 程和随机偏微分方程是目前研究的热点课题. 本文对一类三维分数阶 Ginzburg-Landau 方程
ut = ρu−(1+iν)(−△)αu+ f(u), x ∈ R3, t > 0 (1)
和随机分数阶 Ginzburg-Landau 方程
du+((1+iν)(−△)αu+ρu)dt= f(x,u)dt+βudW(t), x∈R3, t>0 (2)
周期边值问题以及在无界区域上的动力学行为进行了研究, 其中, 未知函数 u = u(x, t) 是复值函数.
本论文共分为六章.
第一章简单介绍了介绍了目前动力系统理论的研究现状及本论文的主要工作内容 和研究意义. 第二章介绍了本论文研究所必须的基础知识.
第三章首先考虑了三维分数阶广义 Ginzburg-Landau 方程的动力学行为, 得到了 其整体吸引子的存在性及其维数估计. 然后考虑了带可乘噪音的三维随机分数阶广义 Ginzburg-Landau 方程周期初边值问题以及在无界域上的动力学行为, 分别得到了其随 机吸引子的存在性及 Hausdorff 维数估计.
本章的难点之一是对方程 (1) 解 u 的范数 ∥△u∥ 的估计. 主要是因为在一维和二维空 间中成立的嵌入定理H1
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