题目：一类非线性梁方程的定解问题

本文主要研究一类非线性可延伸粘弹性梁的定解问题,根据力学原理,建立如下方程：$$ u_{tt}+u_{xxxx}-lambda u_{xxtt}+ mu u_{xxxxt}- M left (int _0^l|u_x|^2dx ight )u_{xx}+eta u_t = 0 $$其中边界条件为：$u(0,t)=0,u_{xx}(0,t)=0,u_{x}(l,t) =0,u_{xx}(l,t)=0 ,$\初始条件为：$u(x,0)=u^0(x),quad u_t(x,0)=u^1(x),0