2017年上海大学材料基因组工程研究院812量子力学考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：
其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：
其中，显然有
设：
于是有：
其中：
同理，有:
因此，有：
利用类似的方法，可得：
因此，有：
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为电子动量算符，算符定义为且和B 都
为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。
综上所述，可以得到也即
2． （1）设与pauli 算符对易，证明（2）试将【答案】（1）
表示成
故为体系守恒量，得证。
的线性叠加. 其中为单位算符.
利用
化简可得：
（2）
二、计算题
3． 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方对应总的自旋平方
本征值为
空间部分波函数对称时分别针对空间部分波函
的本征值为
本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为
数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符
）。 【答案】利用应能量：
对应能量：
中运动，磁作用势为的可能取值及相应的几率。
可知，空间部分波函数反对称时：
对
空间部分波函数对称时：
4． 自旋为的一定域电子在均匀磁场子处 在
的本征态上，求t ＞0时测量
设t=0时刻，电
【答案】的本征态矢与本征值为：
任意t 时的态矢为：
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可能取值为
5． 设已知在，值为
的共同表象中，算符
的矩阵分别为
试在取
对应几率为
的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.
设
的本征态矢为
则由
【答案】可能取得的值有可以解得同理由
为
可以解得
概率为
时态矢为
概率为
态矢
平均值为
6． 求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，
哈密顿量为
【答案】记常数，且x ，p 换为
则哈密顿量可时的哈密顿量
对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以
7． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2
个全同费米子（
表示出体系可能的状态。
【答案】（1）全同粒子系的波函数：时间演化的动力学方程：（2）用
对称性波函数；
反对称性波函数。其随
）组成的体系，
设可能的单粒子态为
试用
相比，相差一
表示出体系可能的状态如下：
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