2017年辽宁师范大学数学学院数学系820高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明
：
也是一组标准正交基.
【答案】由
到
的过渡矩阵是
因为
所以A 是正交矩阵，又题设
2． 设
求证：
【答案】用反证法.
如果（x ）有一个不可约因式，设为
能整
除
中的一个，
设为
以
3． 设V 是数域K 上n 维线性空间，
（1）存在I 【答案】（1）因（2
）令
则存在
使得
使
是V 的真子空间，由上例，存在同样有
，
且
且
•显然
，
（2）存在V 中一组基
于是
中的一个，设
为
因此
是V 的s 个真子空间，证明，
线性无关.
令
线性无关，如此继续下
同
理
是标准正交基，所以
都是多项式，而且
则d
根据不可约多项式的性质
，
整
除
与假设矛盾. 所
也是标准正交基.
，去，可得线性无关向量组（构成V 的基）且有
4． 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.
【答案】令无关组.
（1）
与
等价，故每个是
：的线性组合. 又
是某齐次线性方程组的基础解系，
是与它等价的线性
皆为某齐
次方程组的解，它们的线性组合也是该方程组的解，故每个皆为该齐次方程组的解.
（3）任一解是的线性组合，又能由
线性表出. 由线性表出的传
递性，任一解是
的线性组合.
综上可知，
是该齐次方程组的基础解系.
5． 求下列复系数矩阵的若尔当标准形：
【答案】⑴
所以A 有3个不同的特征值，A 可以对角化. A 的若尔当标准形为：
有二个互素的2级子式：
所以
又因
所以A 的初等因子有A 的若尔当形为：
（3）
（4）因为所以不变因子为若尔当形为：
（5）初等因子为若尔当形为：
（6）用初等变换将
化为标准形
初等因子为
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