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一、简答题

1． 中心极限定理。

【答案】设随机变量

令

则

也就是说，当n 趋于无穷大时，的分布趋向于标准正态分布 相互独立（S 卩，对任意给定的相互独立）且服从同一分布，该分布存在有限的期望和方

差

2． 请给出你所知道的概率抽样的组织方式。

【答案】概率抽样也称随机抽样，是指遵循随机原则进行的抽样，总体中每个单位都有一定的机会被选入样本。调查的实践中经常采用的概率抽样方式有以下几种：

（1）简单随机抽样。简单随机抽样指从包括总体N 个单位的抽样框中随机地、一个一个地抽取n 个单位作为样本，每个单位入样的概率是相等的；

（2）分层抽样。分层抽样是指将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、 随机地抽取样本，将各层的样本结合起来，对总体的目标量进行估计；

（3）整群抽样。整群抽样是指首先将总体中若干个单位合并为组，这样的组称为群，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查；

（4）系统抽样。系统抽样是指将总体中的所有单位（抽样单位）按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位；

（5）多阶段抽样。采用类似整群抽样的方法，首先抽取群，但并不是调查群内的所有单位，而是再进一步抽样，从选中的群中抽取出若干个单位进行调查；因为取得这些接受调查的单位需要两个步骤，所以将这种抽样方式称为二阶段抽样；这里，群是初级抽样单位，第二阶段抽取的是最终抽样单位。将这种方法推广，使抽样的段数增多，就称为多阶段抽样。

3． 说明条形图和直方图的区别和联系。

【答案】（1）条形图与直方图的区别

①形图是用条形的长度表示各类别频数的多少，其宽度则是固定的；直方图是用面积表示各组频数的多少， 矩形的高度表示每一组的频数或频率，宽度则表示各组的组距，因此其高度与宽度均有意义。

②由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列。 ③条形图主要用于展示分类数据，而直方图则主要用于展示数值型数据。

（2）联系

两者都是用矩形表示数据分布情况；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高度来表示数据的分布情况。

4． 分层抽样与整群抽样有何异同？它们分别适合于什么场合？

【答案】（1）相同点：分层抽样和整群抽样都是需要事先按某一标志对总体进行划分的随机抽样。

不同点主要在于：分层抽样的划分标志与调查标志有密切关系，而整群抽样的划分标志不一定与调查标志有 关；分层抽样在总体的每个层内随机抽样，而整群抽样在总体全部群体中随机抽取一部分群体；比较计算公式可知，分层抽样的抽样误差取决于各层总体方差的平均数，而整群抽样的抽样误差取决于总体的群间方差；分层抽 样的目的（优点）主要是缩小抽样误差，满足推断各子总体数量特征的需要，而整群抽样的目的（优点）主要是 扩大抽样单位，简化抽样组织工作。

（2）适用场合：分层抽样用于层间差异大而层内差异小时，以及为了满足分层次管理决策需要时；整群抽样用于群间差异小而群内差异大时，或只有以群体为抽样单位的抽样框时等。

5． 简述季节指数的计算步骤。

【答案】以移动平均趋势剔除法为例，计算季节指数的基本步骤为：

，（1）计算移动平均值（如果是季度数据采用4项移动平均，月份数据则采用12项移动平均）

并将其结果进行“中心化”处理，也就是将移动平均的结果再进行一次2项的移动平均，即得出“中心化移动平均值”

（2）计算移动平均的比值，也称为季节比率，即将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，然后再计算出各比值的季度（或月份）平均值。

（3）季节指数调整。由于各季节指数的平均数应等于1或100%，若根据第2步计算的季节比率的平均值不等于1时，则需要进行调整。具体方法是：将第（2）步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值。

二、计算题

6． 康祥医药公司2004年第三季度和第四季度三种药品的销售数据如表所示。

表

（1）计算三种药品销售额指数；

（2）以第四季度的销售额为权数，计算三种药品的价格指数以及由于价格变动而影响的销售额；

（3）利用指数体系推算三种药品的销售量指数以及由于销售量变动而影响的销售额。

【答案】（1）三种药品的销售额指数为：

（2）三种药品的价格指数为：

即第四季度与第三季

度相比，三种药品销售价格平均上升了3.59%，销售价格的上升使销售额增加的量为：

（3）由于销售额指数=销售价格指数x 销售量指数，

则

销售量变动而影响的销售额变动量为：

7 假定随机向量．，服从二维正态分布且X 和Y 分别服从正态分布现做变换：

和方差

和并已知它们的相关系数为（1）试求Z 的数学期望（2）试求X 与Z 的相关系数 （3）试判断X 与Z 的独立性（说明理由）。