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一、简答题

1． 波函数【答案】

与

2． 现有三种能级【答案】

是否描述同一状态？

描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

一维谐振子．

3． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

4． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

5． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

6． 厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？ 【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

7． 什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

8． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级

的原子被一个频率为

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为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

的光子照射，受激发而跃迀到较

低能级的。

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

9． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

10．波函数么？

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

的物理含义是什表示粒子在

|

处

是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

表示在时刻附近

体积元中粒子出现的几率密度。

二、证明题

11．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

因为存在

数

（2）证：因为而（3）因为

所以

即正交

而

所以

设本征方程为

其中为本征值，上式可改写为

易解出

C 为积分常数，可由归一化条

即为厄米算符。

具有周期性，

所以

即本征值为实

【答案】（1）证：对于厄米算符

件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，

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由此可得数记为

即为其本征函数. 相应的本征方程为

12．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

和

即都为自旋分量的本征态。在

即角动量z 分量的本征值为

是量子化的，相应本征函

再利用归一化条件可得

这就意味着，此态要么是自旋朝上

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为

三、计算题

13．若【

答

求案

】

14．为电子自旋算符。写出在表象中的矩阵表示、的本征值及其对应的本征态。 【答案】

15．设无外势场时，质量为能量为E ＞0的粒子的状态用球面波描写. 试 （1）导出决定S 波（1=0）波函数的常微分方程； （2）求出所有S 波的球面波波函数；

（3）计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研]

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