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一、选择题

1． 下列算符【答案】

【答案】C

3． 对力学量进行测量. 要能得到确定结果的条件是（ ） A. 体系可以处于任一态 B. 体系必须处于宏观态 C. 力学量必须是守恒量 D. 体系必须处于的本征态 【答案】D

【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.

4． 量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。 【答案】厄米；厄米

5． 中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D.

哈密顿与坐标的对易式

（ ）。

是线性算符的是_____。

2． —维问题中的哈密顿量为

的共同征函数为则关于这两个算符的本征值方程正确

【答案】C

6． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】

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二、简答题

7． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

时有确定的测值。

8． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

9． 什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

10．量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

11．自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级低能级

的原子被一个频率为

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

的。

12．量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

13．归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

14．写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:

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对整个空间积分也等于1。

如果对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

总自旋为1:

15．—个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

16．什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

三、证明题

17．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

是束缚态的波函数，

即都为自旋分量的本征态。在

这就意味着，此态要么是自旋朝上

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为

和

18．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意

试证明这两个波函数对应的态矢正交.

并在方程两边同时积分

又

则

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为

则由正交归一化条件有

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