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一、填空题

1． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】 2．

表示_____，几率流密度表示为_____。

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈

【答案】几率密度；

3． 一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

4． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。 【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

5． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.

6． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性

二、选择题

7． 量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。 【答案】厄米；厄米

8． 一维运动中，哈密顿量【答案】

9． —维问题中的哈密顿量为

哈密顿与坐标的对易式

（ ）。

【答案】C

10．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（ ） A.1

B.

C.

D. 【答案】A

【解析】由德布罗意波长公式 11．

_____

_____

_____

_____

_____。

【答案】

12．一维自由电子被限制在x 和

波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A.

处两个不可穿透壁之间，埃，如果是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

由题意，基态能量为

则可知，

较高级能量与基态能量比值为

则第一激发态能量为

三、计算题

13．粒子在势场作【

答

案

】

利

用

波

函

数

的

中运动，其中试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

归

一

化

公

式

由重新代入

得：

表达式，得：

故基态能量的上限为：

14．力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？

【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。

15．—个自旋为1/2的粒子在三维各向同性的谐振子势中运动，求其基态和第一激发态的能量、波函数和相 应简并度。已知质量为的无自旋粒子在一维谐振子势（频率为）中运动的波函数为基态

第一激发态

【答案】三维各向同性的谐振子可作分离变量求解，分别为三个方向的一维谐振子运动的并合。 基态为三个方向都在基态，加上自旋自由度可得波函数为：

其中，于是可知能量为

为自旋波函数。 简并度等于

因此相应能量为

16．设

相应简并度为6。 是

（1）计算（2）计算

并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态

试证该态与的方向无关，即由不同得到

方向的单位矢量，在表象中

，

第一激发态为有一个方向处于第一激发态，故波函数为：

（3

）设两电子自旋态为的态最多相差相因子。 【答案】⑴