● 摘要
算子代数理论产生于20世纪30年代, 是一门比较年轻的学科.他与量子力学,非交换几何, 线性系统, 控制理论,数论以及其他一些重要数学分支都有着广泛的联系和互相渗透.伴随着它在其他学科的应用,这一理论有了很大发展,已经成为现代数学中一个另人关注的分支.非自伴算子代数是算子代数中一个重要的研究领域,而套代数是一类最重要的非自伴算子代数.近年来国内外很多学者专家都对该代数上的映射进行了深入的研究,发现了很多新颖的证明方法 和技巧,并不断的提出新思路,线性保持问题及导子都是被研究的对象. 本文主要对套代数上的可导映射以及近似可导映射, 矩阵代数上的拟三重 Jordan 可导映射, $mathcal B(mathcal H)$上的拟三重 Jordan 可导映射的可加性,套代数上的$r$-Jordan 可导映射的自动可加性进行了讨论. 本文分四章,具体内容如下:
第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号,定义以及后面要用到的一些定理等内容. 具体介绍了 套代数,von neumann 代数等概念, 并给出了本文所需的几个结论.
第二章主要对套代数上的可导映射的自动可加性进行了研究.证明了套代数上的每一个可导映射都是自动可加的. 并且对作用在无限维 Hilbert 空间上的套代数上的近似可导映射进行了刻画,证明了它是一个内导子.
第三章主要对矩阵代数上的拟三重 Jordan 可导映射进行了刻画.证明了作用在一个包含单位元的可交换的 2-无挠环上的矩阵代数上的拟三重 Jordan 可导映射是一个内导子与 $A_{varphi}$ 的和(这里 $A_varphi$ 是 A 在 $varphi$ 下逐点作用的像).并且对作用在无限维 Hilbert 空间上的有界线性算子的全体上的拟三重 Jordan 可导映射进行了刻画,证明了它是一个内导子.
第四章主要对套代数上的 $r$-Jordan 可导映射的自动可加性进行了讨论. 首先证明了作用在 Hilbert 空间上的 $mathcal B(mathcal H)$上的$r$-Jordan 可导映射是一个可加导子, 并且当 Hilbert 空间是无限维时,它是一个内导子; 最后在 ${mathcal N}
eq{{0},{mathcal H}}$ 的情况下得到了相同的结论.
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