2017年山东大学威海校区829量子力学考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
，（常数）
同理，可得
因此：
2． （1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符
证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.
因为存在
数
（2）证：因为而（3）因为
所以
即正交
而
所以
设本征方程为
其中为本征值，上式可改写为
易解出
第 2 页，共 40 页
试证明的不确定关系
：
所以有：
【答案】（1）证：对于厄米算符
所以
即本征值为实
具有周期性，
即为厄米算符。
C 为积分常数，可由归一化条
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的，相应本征函
再利用归一化条件可得
二、计算题
3． 给定
方向的单位矢量：
而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设在
为
【答案】（1）
表象中：
设
本征值为
本征函数为
则:
解得：当
时，
并利用归一化条件可以取
表象中的本征态：
计算在该态上测量
所得的可能测量值及相应几率。
的本征值和本征函数。
当（2）设
时，并利用归一化条件，可以取
已知
因此测量
可能的测量值为
其中结果为1的
概率为：
第 3 页，共 40 页
结果为-1的概率为：
4． 对于一维无限深势阱（1）写出单粒子能级
和波函数
的全同粒子在此势阱中，写出此系统基态和第一激发态的
（2）如果有两个无相互作用的自旋为能量值和波函数。
【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：
（1）
基态：
空间部分波函数是对称的
：自旋部分波函数是反对称的：
总波函数：
（2）第一激发态：空间部分波函数：自旋部分波函数：
二电子体系的总波函数：
第 4 页，共 40 页