当前位置：问答库＞考研试题

一、简答题

1． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为

其中

2． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

3． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

4． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

5． 写出电子在外电磁场【答案】

6． 扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

第 2 页，共 44 页

中的哈密顿量。

理论根据：电矩m 矩阵元

7． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：

8． 已知为一个算符么正算符？

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

9． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

圆偏光选择定则：

满足如下的两式

问何为厄密算符？何为

10．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

二、证明题

11．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：

其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：

其中，显然有

设：

第 3 页，共 44 页

为电子动量算符，算符定义为且和B 都

为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。

于是有：

其中：

同理，有:

因此，有：

利用类似的方法，可得：

因此，有：

综上所述，可以得到也即

12．证明么正变换不改变算符的本征值。

故为体系守恒量，得证。

【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：

由于相似变换不改变矩阵本征值，故

与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。

三、计算题

13．设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态

电子跃迁到激发态的概率.

（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由

.

【答案】（1）根据跃迁几率公式

第 4 页，共 44 页

其中 T 为常数。

已知，a 基态其中为玻耳半径.